История числа Пи

 

 

 

 

 

3.Соотношения числа Пи

 

Известно много формул с числом π:

• Франсуа Виет, 1593:

• Формула Валлиса:

• Ряд Лейбница:

• Тождество Эйлера:

• Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

• Интегральный синус:

 

 

 

 

 

4. Оценки Числа Пи

 

Уже в глубокой древности  делались попытки найти приближенное выражение для числа π с  помощью рациональных чисел. В древнем  Египте при вычислении площади круга  для пи-числа использовали значение

Древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.), рассматривая окружность как предел последовательностей правильных описанных и вписанных многоугольников, когда число их вершин бесконечно растет, нашел, что пи-число заключено между

и

Приближение

найдено было сначала китайским  математиком Цзу Чуи-чжи во второй половине V в., а затем, значительно позднее, в Европе (в XVI в.); это приближение содержит ошибку лишь в седьмом знаке.

В дальнейшем делались многочисленные попытки найти более точное выражение  для пи-числа. Например, самаркандский  ученый Джемшид ибн-Мауд-аль-Каши (первая половина XV в.) вычислил 17 десятичных знаков π, голландский математик Лудольф ван Цейлен (начало XVII в.) — 32 десятичных знака.

В настоящее время благодаря  применению вычислительных машин π  найдено с огромной точностью. К π приводит также разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей и рядов. Впервые это обнаружил французский математик Ф. Виет. В 1674 г. Лейбниц получил медленно сходящийся ряд, представляющий число:

Удобнee для вычислений ряд, получаемый разложением arctg x при

Наилучшую формулу для  вычисления π получил Дж. Мэчин, пользуясь также разложением arctg x в ряды. Он вычислил пи-число с точностью до 100 десятичных знаков.Число π встречается и в некоторых формулах неевклидовой геометрии, где оно, конечно, не является отношением длины окружности к ее диаметру, а определяется чисто аналитически. Число π участвует и в известной формуле Эйлера     

из которой еще глубже выясняется природа числа π.

(Архимед),

(дана в книге индийского мыслителя  и астронома Ариабхаты в V веке н. э.),

(оценка приписывается современнику  Ариабхаты древнекитайскому астроному Цзу Чунчжи).

510 знаков после запятой: 

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Двести миллиардов знаков после запятой (2000 ZIP-архивов, средний размер файла около 57 мегабайт)

 

 

5. История вычисления

 

В 1997 году Дэйвид Бэйли, Питер  Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ (англ.) быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными  прямыми плоскость произвольно  бросается игла, длина которой  равна расстоянию между соседними  прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что  отношение числа пересечений  иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к  при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.^[10]

 

Японцы посчитали  число Пи с рекордной точностью

 

Японские ученые вычислили  число Пи с рекордной точностью, сообщает издание The Mainichi Daily News. Новый  рекорд составляет 2576980377524 (2 триллиона 576 миллиардов 980 миллионов 377 тысяч 524) знака. Предыдущий рекорд составлял  примерно 1,2 триллиона знаков и также  был установлен в Японии в 2002 году. Первые миллион цифр после запятой  у числа Пи можно посмотреть здесь. Для рекордного вычисления ученые использовали суперкомпьютер T2K Tsukuba System, который работал более 73 часов. Этот компьютер способен выполнять 95 миллиардов операций с плавающей точкой в секунду. В настоящее время исследователи подали заявку на включение своего достижения в Книгу рекордов Гиннесса. Изначально число Пи появилось как отношение длины окружности к ее диаметру, поэтому его приближенное значение вычислялось как отношение периметра вписанного в окружность многоугольника к диаметру этой окружности. Позже появились более совершенные методы. В настоящее время Пи вычисляется при помощи быстро сходящихся рядов, наподобие тех , которые были предложены Сринивасом Рамануджаном в начале 20 века.

В настоящее время с  Пи связано ряд до сих пор не решенных задач. Например, не решен  вопрос о нормальности этого числа. Нормальным (n-нормальным) называются трансцендентные числа, в записи которых по основанию n любая фиксированная группа цифр встречается с одной и той же вероятностью. Более того, до сих пор не известно, все ли цифры от 0 до 9 встречаются в десятичной записи числа Пи бесконечное число раз.

В данном случае сверхточное  вычисление числа является удобным  экспериментом, результаты которого позволяют  сформулировать гипотезы относительно тех или иных особенностей числа.

Абсолютно все знают, что такое "пи". Но знакомое всем со школы  число возникает во многих ситуациях, не имеющим никакого отношения к  окружностям. Его можно встретить  в теории вероятностей, в формуле  Стирлинга для вычисления факториала, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных  и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в  дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное  с одной из трех классических задач  Античности - построение квадрата, площадь  которого равна площади заданного  круга - влечет за собой шлейф драматических  исторических и курьезных занимательных  фактов.

В каждой книге по занимательной  математике вы непременно найдете историю  вычисления и уточнения значения числа "пи". Сначала, в древних  Китае, Египте, Вавилоне и Греции для  расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние века и Эпоху  Возрождения европейские, индийские  и арабские математики уточнили значение "пи" до 40 знаков после десятичной точки, а к началу Эпохи Компьютеров  усилиями многих энтузиастов количество знаков было доведено до 500. Такая точность имеет чисто научный интерес (об этом ниже), для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после  точки. Тогда, зная, что радиус Земли  равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру "пи" после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько  миллиметров. А при расчете длины  Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать "пи" с четырнадцатью  знаками после точки. Среднее  расстояние от Солнца до Плутона - самой  далекой планеты Солнечной системы - в 40 раз больше среднего расстояния от Земли до Солнца. Для вычисления длины орбиты Плутона с ошибкой  в несколько миллиметров достаточно шестнадцати знаков "пи". Да что  уж там мелочиться - диаметр нашей  Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XXVII веке были получены 34 знака "пи", избыточные для таких расстояний. В чем  же сложность вычисления значения "пи"? Дело в том, что оно не только иррациональное (то есть его нельзя выразить в виде дроби P/Q, где P и Q целые числа), но оно  еще не может быть корнем алгебраического  уравнения. Число , например, иррациональное, не может быть представлено отношением целых чисел, но оно является корнем уравнения Х2-2=0, а для чисел "пи" и е (постоянная Эйлера), нельзя указать  такое алгебраическое (не дифференциальное) уравнение. Такие числа называются трансцендентными и вычисляются рассмотрением какого-либо процесса и уточняются за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса. Самый “простой” путь - вписывать в окружность правильный многоугольник и вычислять отношение периметра многоугольника к его “радиусу”. При увеличении числа сторон это отношение будет стремиться к удвоенному "пи". Так, например, в 1593 году Адриан ван Ромен вычислил периметр вписанного правильного многоугольника с 1073741824 (т.е. 230) сторонами и определил 15 знаков "пи". В 1596 году Лудольф ван Цейлен получил 20 знаков, рассчитав вписанный многоугольник с 60*233 сторонами. Еще один путь вычислителей "пи" - через формулы с бесконечным числом членов: "пи"=2*(2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/7) "пи"=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-….) Подобные формулы можно получить, раскладывая, например, арктангенс в ряд Маклорена, зная, что arctg(1)="пи"/4 (потому что tg(450)=1 - это знает даже наша кошка) или раскладывая в ряд арксинус, зная, что arcsin(0.5)="пи"/6 (катет, лежащий против угла в 300…). А теперь предлагаю всем прикоснуться к вершине достижения человеческого разума, впитавшего знания, энтузиазм и судьбы тысяч математиков-вычислителей за последние 4000 лет и, ощущая трепет, рассмотреть первые 1000 знаков числа "пи". "пи" = 3.  
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899   8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502   8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989  
Цифры десятичного представления числа "пи" достаточно случайны, что дает повод для математических курьезов и околонаучных спекуляций. Например, можно смело утверждать, что в разложении p встретятся шесть подряд девяток, и действительно, в пятом столбце третья снизу строка их содержит. Или страшнющие три шестерки, среди представленных цифр их нет (и очень хорошо), но они непременно появятся при увеличении количества рассматриваемых знаков. Чувствуете парадокс"пи" В десятичном разложении "пи" присутствует любая последовательность цифр, просто надо ее найти. В числе "пи" сидят в закодированном виде все написанные и не написанные книги, любая информация, которая может быть выдумана, уже заложена в "пи". Надо только рассмотреть побольше знаков, найти нужный участок и расшифровать его. Это чем-то сродни парадоксу со стадом шимпанзе, долбящем по клавиатуре. При достаточно долгом (можно даже оценить это время) эксперименте они напечатают все пьесы Шекспира. Тут же напрашивается аналогия с периодически появляющимися сообщениями о том, что в Ветхом Завете, якобы, закодированы послания потомкам, поддающиеся прочтению с помощью хитроумных программ. Отметать сходу такую экзотическую особенность Библии не совсем мудро, кабаллисты веками занимаются поиском таких пророчеств, но хотелось бы привести сообщение одного исследователя, который с помощью компьютера нашел в Ветхом завете слова о том, что в Ветхом Завете нет никаких пророчеств. Скорее всего, в очень большом тексте, так же, как и в бесконечных цифрах"пи", можно не только закодировать любую информацию, но и “найти” фразы, изначально не заложенные туда. Очень хотелось бы ошибаться, так же, как хочется верить в сказки и чудеса. Ну а теперь я предлагаю на минуточку забыть, все, что вы прочитали о числе "пи" и попробовать определить его, заходя совсем с другой стороны. Причем, обращаю внимание читателей, это будет вторая попытка журнала подобраться к числу "пи", первая была совершена в журнале "Hard'n'Soft" №8 2001 в статье Андрея Теплякова “Моделируя жизнь”, где успешно подтвердили первые знаки с помощью метода Монте-Карло. Важность таких попыток обусловлена, помимо любопытства, еще и гипотезой о том, что все (или некоторые) универсальные постоянные (постоянная Планка, число Эйлера, универсальная гравитационная постоянная, заряд электрона и т.д.) со временем меняют свои значения, так как меняется кривизна пространства из-за перераспределения материи или по другим, не известным нам причинам. Рискуя навлечь гнев просвещенного сообщества, можем предположить, что и рассматриваемое сегодня число "пи", отражающее свойства Вселенной, может со временем меняться. Во всяком случае, никто не может нам запретить заново найти значение "пи", подтвердив (или не подтвердив) имеющиеся значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. История уточнения значения числа пи

 

 

В каждой книге по занимательной  математике вы непременно найдете историю  уточнения значения числа пи. Сначала, в древних Китае, Египте, Вавилоне и Греции для расчетов использовали дроби, например, 22/7 или 49/16. В Средние  века и эпоху Возрождения европейские, индийские и арабские математики уточнили значение пи до 40 знаков после  десятичной точки, а к началу компьютерной эпохи усилиями многих энтузиастов  количество знаков было доведено до 500.  

 

Такая точность имеет чисто  академический интерес (об этом ниже), а для практических нужд в пределах Земли достаточно 10 знаков после  запятой. При радиусе Земли 6400 км или 6,4·10⁹ мм, получится, что, отбросив двенадцатую цифру пи после запятой, мы при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины земной орбиты вокруг Солнца (ее радиус 150 млн км = 1,5·10¹⁴ мм) для такой же точности достаточно использовать число пи с четырнадцатью знаками после запятой. Среднее расстояние от Солнца до Плутона — самой далекой планеты Солнечной системы — в 40 раз больше среднего расстояния от Земли до Солнца. Для вычисления длины орбиты Плутона с ошибкой в несколько миллиметров достаточно шестнадцати знаков пи. Да что уж там мелочиться, диаметр нашей Галактики около 100 тыс. световых лет (1 световой год примерно равен 10¹³ км) или 10¹⁹ мм, а ведь еще в XVII веке были получены 35 знаков пи, избыточные даже для таких расстояний. 

 

В чем же сложность вычисления значения числа пи? Дело в том, что  оно не только иррациональное, то есть, его нельзя выразить в виде дроби p/q, где p и q целые числа. Такие числа  нельзя записать точно, их можно вычислять  только методом последовательных приближений, увеличивая число шагов для получения  большей точности. Самый простой  путь — рассматривать вписанные  в окружность правильные многоугольники со все возрастающим числом сторон и вычислять отношение периметра  многоугольника к его диаметру. С  ростом числа сторон, это отношение  стремиться к числу пи. Именно так  в 1593 году Адриан ван Ромен вычислил периметр вписанного правильного многоугольника с 1073741824 (т.е. 2³⁰) сторонами и определил 15 знаков пи. В 1596 году Лудольф ван Цейлен получил 20 знаков, рассчитав вписанный многоугольник с 60·2³³ сторонами. Впоследствии он довел вычисления до 35 знаков. 

 

Другой путь вычисления пи — использование формул с бесконечным  числом членов. Например: 

 

 

     π = 2 · 2/1 · (2/3 · 4/3) · (4/5 · 6/5) · (6/7 · 8/7) · ... 

    π = 4 · (1/1 – 1/3) + (1/5 – 1/7) +(1/9 – 1/11) + ...

Подобные формулы можно  получить, раскладывая, например, арктангенс в ряд Маклорена, зная, что 

 

 

   arctg(1) = π/4 (поскольку что tg(45°) = 1) 

 

или раскладывая в ряд  арксинус, зная, что 

 

 

     arcsin(1/2) = π/6 (катет, лежащий против угла в 30°). 

 

В современных расчетах применяются еще более эффективные методы.С их помощью на сегодня определено более триллиона знаков числа пи. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  7. Определение местоположения элементарных частиц через Пи

 

Более того - недавно учёные установили, что именно через Пи можно  определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы! Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: "Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число Пи - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число Пи? Ответа пока нет." На самом деле, Кэнтор лукавит, ответ есть, просто он настолько невероятен, что учёные предпочитают не выносить его на широкую публику, опасаясь за собственную жизнь (об этом чуть позже): число Пи само себя контролирует, оно разумно! Вздор? Не спешите. Ведь ещё Фонвизин говорил, что "в человеческом невежестве весьма утешительно считать всё то за вздор, чего не знаешь."

Во-первых, догадки о разумности чисел вообще давно посещали многих известных математиков современности. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель в феврале 1829-го писал своей матери: "Я получил подтверждения того, что одно из чисел - разумно. Я говорил с ним! Но меня пугает, что я не могу определить, что это за число. Но может быть это и к лучшему. Число предупредило меня, что я буду наказан, если Оно будет раскрыто." Кто знает, раскрыл бы Нильс значение числа, с ним говорившего, но 6 марта 1829-го года его не стало. 1955 год, японец Ютака Танияма выдвигает гипотезу о том, что "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма" (как известно, на основе этой гипотезы была доказана теорема Ферма). 15 сентября 1955-го, на международном математическом симпозиуме в Токио, где Танияма объявил о своей гипотезе, на вопрос журналиста: "Как вы до этого додумались?" - Танияма отвечает: "Я не додумался, число мне об этом сообщило по телефону". Журналист, думая, что это шутка, решил её "поддержать": "А номер-то телефона оно вам сообщило?". На что Танияма серьёзно ответил: "Такое впечатление, что этот номер мне давно был известен, но я могу теперь сообщить его только через три года, 51 день, 15 часов и 30 минут." В ноябре 1958 года Танияма покончил с собой. Три года, 51 день, 15 часов и 30 минут - это и есть 3,1415. Совпадение? Может быть. Но - вот ещё одно, ещё более странное. Итальянский математик Селла Квитино тоже несколько лет, как он сам туманно выражался, "поддерживал связь с одной милой цифрой". Цифра, по словам Квитино, который уже тогда лежал в психиатрической лечебнице, "обещала сказать своё имя в день своего рождения". Мог ли Квитино настолько лишиться разума, чтобы называть число Пи цифрой, или он так специально запутывал врачей? Не ясно, но 14 марта 1827-го года Квитино не стало.  
        А самая загадочная история связана с "великим Харди" (как вы все знаете, так современники называли великого английского математика Годфри Харолда Харди), который вместе со своим приятелем Джоном Литлвудом знаменит работами в теории чисел (особенно в области диофантовых приближений) и теории функций (где друзья прославились исследованием неравенств). Как известно, Харди был официально неженат, хотя не раз заявлял, что "обручён с царицей мира нашего". Коллеги-учёные не раз слышали, как он разговаривает с кем-то в своём кабинете, его собеседника никто никогда не видел, хотя его голос - металлический и чуть скрипучий - долгое время был притчей во языцех в Оксфордском университете, где он работал в последние годы. В ноябре 1947 года эти беседы прекращаются, а 1 декабря 1947 года Харди находят на городской свалке, с пулей в желудке. Версию о самоубийстве подтвердила и записка, где рукой Харди было написано: "Джон, ты увёл у меня царицу, я тебя не виню, но жить без неё я более не могу".  
 
        Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно?  
        Вообще говоря, подобных историй можно накопать очень много, и, разумеется, не все они трагичны.  
 
        Но, перейдём к "во-вторых": каким образом число вообще может быть разумным? Да очень просто. Человеческий мозг содержит 100 млрд. нейронов, число знаков Пи после запятой вообще стремится к бесконечности, в общем, по формальным признакам оно может быть разумным. Но ведь если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе, последовательность десятичных знаков в Пи подчиняется теории хаоса, грубо говоря, число Пи это и есть хаос в его первозданном виде. Может ли хаос быть разумным? Конечно! Точно так же, как и вакуум, при его кажущейся пустоте, как известно, отнюдь не пуст.  
 
        Более того, при желании, можно этот хаос представить графически - чтобы убедиться, что он может быть разумным. В 1965-ом году американский математик польского происхождения Станислав М. Улам (именно ему принадлежит ключевая идея конструкции термоядерной бомбы), присутствуя на одном очень длинном и очень скучном (по его словам) собрании, чтобы как-то развлечься начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число Пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно обводил все простые числа чёрными кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых - то, что получилось, очень было похоже на нечто разумное. Особенно, после того, как Улам сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину, с помощью специального алгоритма.