История интегрального исчисления

Вычислением интегралов от степеней х^r, или, как говорили в то время, квадратурой «парабол» у=х^r, где r — рациональное число, П. Ферма занимался еще в 1644 г. Е. Торричелли обобщил результат Ферма и на отрицательные показатели. Позже, однако, Ферма независимо от Торричелли изложил общую теорию всех различных случаев. Он впервые разбил фигуру под кривой на малые полоски, которые можно принять за прямоугольники. При этом, однако, он делил отрезок оси ОХ, основание криволинейной трапеции, не на части произвольной длины, как это делаем мы, а на отрезки, образующие геометрическую прогрессию. Этот метод деления Ферма назвал логарифмическим.

Еще более четко понятие определенного  интеграла выступает в трудах Б. Паскаля. Он впервые познакомился с неделимыми у Кавальери, о котором отзывался с большой похвалой. Однако, несмотря на то что Паскаль пользовался термином «неделимые», он их понимает не так, как Кавальери. «Сумма ординат» для Паскаля — это уже не все линии, а сумма неограниченного числа прямоугольников, сторонами каждого из которых служили ордината и маленькие равные отрезки абсцисс. Когда речь идет о дуге окружности, вместо суммы ординат он употребляет также выражение «сумма синусов», понимая под синусами значения f(х_i) функции и умножая последние на приращение ∆x_i независимой переменной.

Приведем для примера следующую  теорему из «Трактата о синусе четверти круга» (1658) Паскаля.

Сумма синусов какой-нибудь дуги (BF) четверти круга (рис. 4) равна отрезку основания (АО) между крайними синусами, умноженному на радиус (АВ).

Дуга BF делится на равные части, отмеченные точками, из которых проводятся синусы DI. Точки пересечения касательных к дуге окружности в точках D обозначены точками Е; из последних опускаются затем перпендикуляры ER.

Предварительно Паскаль доказывает, что

DI·EE = RR·AB.    (1)

Рис. 4.                Рис. 5.

Действительно (рис. 5), из подобных прямоугольников DIA и EKE(ÐEEK=Ð-DAI) следует: . Ввиду того что AB = AD, получаем равенство (1). «Я утверждаю, — пишет после этого Паскаль, — что сумма синусов DI, само собой разумеется, каждого умноженного на одну из равных дуг DD, равна прямой АО, умноженной на радиус АВ». Заменяя каждую касательную ЕЕ дугой DD, Паскаль получает в левой части равенства (1) «сумму синусов», а в правой — произведение АВ на сумму отрезков RR, т. е. на АО. Итак, теорема доказана.

Отождествление дуги DD с отрезком касательной Паскаль только подразумевает. Он явно пишет по этому поводу следующее: «Когда я говорю, что все расстояния RR, вместе взятые, равны АО, а также, что каждая касательная ЕЕ равна каждой из малых дуг DD, то не следует этому удивляться, так как достаточно хорошо известно, что хотя на деле этого равенства и не существует, если множество синусов конечно, но тем не менее это равенство существует, если это множество неограниченно. Ибо тогда сумма всех равных между собою касательных ЕЕ отличается от всей дуги BF или же от суммы всех равных дуг DD только на величину, меньшую любой заданной величины. То же самое имеет место и для суммы RR всего (отрезка) АО».

Чтобы перевести доказательство Паскаля на современный язык, введем соответствующую систему декартовых координат, обозначим «синус DL» через у, элемент дуги DD — через ds, дифференциал независимого переменного — через ds, дифференциал независимого переменного — через dx, радиус АВ — через r. Тогда равенство (1) можно записать так:

yds = rdx.

Интегрируя согласно содержанию теоремы Паскаля, получим:

Более сложный интеграл, стоящий в левой части этого  равенства, сводится таким образом  к более простому интегралу правой части, равному rх, а для целой четверти r².

Положим r=1 и введем угол DAB =ÐADI = j; Тогда (рис. 5) s = rj = j,    y=DI = AD·cos j = cos j,     x=sinj. Равенство (2) дает:³

Паскаль вычислил и ряд других, более сложных интегралов и интегральных формул для преобразования одних  интегралов в другие. Труды Паскаля  означали существенный шаг вперед на пути к созданию анализа бесконечно малых. Достаточно упомянуть, что на рассмотренном выше треугольнике ЕЕК (рис. 5) Лейбниц построил свое дифференциальное исчисление. Этот треугольник, названный им характеристическим, по собственным словам Лейбница, «осенил его лучом нового света».

Признавая огромные заслуги  Паскаля, следует, однако, отметить его «слабость»: он не пользовался новой символической алгеброй и не производил алгебраических выкладок. Подобно древнегреческим математикам, он все выражал словами. Вероятно, это обстоятельство явилось одной из причин, из-за которых Паскаль был лишен возможности создать тот новый общий алгоритм исчисления бесконечно малых, который открыли Ньютон и Лейбниц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. «О глубокой геометрии» Лейбница

 

С основными достижениями математики XVII в. Лейбниц познакомился в начале 70-х годов этого столетия, когда под влиянием голландского ученого X. Гюйгенса изучил, кроме его работ, «Геометрию» Декарта, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др. Два года спустя после опубликования мемуара 1684 г., первого печатного труда Лейбница по дифференциальному исчислению, в «Acta Eruditorum» появился новый его мемуар, названный им «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». Это была первая печатная работа по интегральному исчислению. Основным понятием для Лейбница была сумма актуально бесконечных малых треугольников ydx, на которые разбивается криволинейная фигура, т. е. определенный интеграл. В этом же ме муаре впервые появляется не только знак ò, но и запись òydx, причем Лейбниц предупреждает, что не следует забывать писать под знаком интеграла множитель dx.

В своем мемуаре Лейбниц  устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислением. Еще в 1670 г. английскому математику И. Барроу впервые удалось установить чисто геометрически взаимоотношение между проведением касательных и квадратурой. Лейбниц, исходя из «характеристического» треугольника с катетами dx и dy (разности абсцисс и ординат двух близких точек линии) и гипотенузой ds (бесконечно малой дуги кривой или бесконечно малого отрезка касательной к дуге), приходит к равенству (дифференциальному уравнению)

ибо у нас суммы и разности или ò и d взаимно обратны, как в обычном исчислении степени и корня».

Таким образом, исходя из понятия определенного интеграла, Лейбниц приходит к понятию функции F(х) первообразной (или примитивной) для данной функции f(x) так, что

F' (x)=f(x),  или   dF(x)=f(x)dx.         (5)

Отсюда и заключение о том, что дифференцирование  и интегрирование являются двумя взаимно обратными операциями, вроде сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечение корня.

Ниже мы убедимся в  том, что независимо от Лейбница и  еще до него эти результаты были получены Ньютоном. Последний, однако, нашел их, идя по другому пути.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. «Метод флюксий» Ньютона.

Понятие неопределенного интеграла

 

К основным понятиям и  к алгоритму исчисления бесконечно малых Ньютон пришел в середине 60-х годов XVII в., когда двадцатилетний Лейбниц был студентом юридического факультета и математикой еще не занимался. В своем «Методе флюксий», составление которого Ньютон закончил в 1671 г., автор формулирует две основные проблемы. Первая: «По данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюксиями». Решение этой проблемы приводит Ньютона к вычислению флюксии (производной) от данной флюэнты (функции) и к своеобразному обоснованию развитого им дифференциального исчисления. Он вводит понятие «моментов» текущих величин, соответствующих понятию дифференциалов функций. Неограниченно малую величину, понимаемую как актуально бесконечно малое приращение независимой переменной (времени), Ньютон обозначает через знак 0, напоминающий нуль, но не являющийся нулем. Момент флюэнты и, например, он обозначает так: , где u—флюксия. Свое исчисление флюксий Ньютон применяет к нахождению максимумов и минимумов величин, проведению касательных и к совершенно новой задаче — определению кривизны данной кривой в данной точке.

Вторую проблему Ньютон формулирует так: «По данному  уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюэнтами». Эта общая проблема об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, которую Ньютон решает главным образом с помощью бесконечных рядов содержит, в частности, задачу определения функции F (называемой первообразной), зная ее производную F'=f. Именно эта задача приводит к понятию неопределенного интеграла.

В современных учебниках  дается такое определение: F(x) в данном промежутке называется первообразной функцией для f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной от F(x), т. е.

F^/(х) =f(x),     или       dF( x)=f(x)dx.

Термин «первообразная» (или примитивная) функция» ввел в  начале XVIII в. Лагранж.

Наряду с F(x) и функции F(x)+C (С — любая постоянная) будут первообразными для f(x) и вообще любая первообразная для f(x) может быть представлена в виде F(x)+C. Последнее выражение и называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

òf(x)dx. (2)

«Неопределенным» интеграл называется потому, что символ (2) неявно включает произвольную постоянную С. Об историческом происхождении символа (2), и в частности о записи ydx, уже говорилось выше.

Многие задачи из механики и физики ведут к понятию первообразной функции и неопределенного интеграла, однако исторически, в частности у Ньютона, это понятие возникло из геометрии как задача квадратуры кривой.

Пусть имеем криволинейную  трапецию (рис. 6), ограниченную сверху кривой y=f(х), и пусть эта функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает лишь неотрицательные значения Для нахождения площади Р нашей трапеции рассмотрим сначала площадь Р(х) фигуры ADLK, отвечающей промежутку [а, х], где х — произвольно взятое на отрезке [a, b] значение. Для нахождения функции Р(х) построим приращение ∆х и соответствующее ему приращение ∆Р. Если m и М представляют минимум, соответственно максимум f(x) в промежутке                 [х, х + ∆х], то, очевидно, будет иметь место неравенство

m ∆х < ∆Р < М ∆ х, (3)

откуда

Вследствие непрерывности  функции т и М будут стремиться к f(x) при стремлении ∆х к нулю, и мы получим:

           (5)

т. е. производная от переменной Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной ординате y=f(x), или, то же, площадь Р(х) криволинейной трапеции есть первообразная функция для функции y=f(x), представляющей собой кривую, ограничивающую трапецию.

Можно теперь записать:

P(x) = F(x) + C.     (6)

Но так как при х=аР(х) = 0, получим для значения постоянной С  в нашем случае:

0=F(a)+C,   или   C = —F(a),

подставив это значени С в (6), будем иметь:

P(x) = F(x)-F(a).         (7)

 

Рис. 6.

 

Для определения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD следует положить x=b. Тогда

Р = F(b) — F(a).     (8)

Таким путем, исходя из понятия  производной, Ньютон пришел к понятию  первообразной или неопределенного интеграла. Последний являлся для Ньютона первоначальным понятием при построении интегрального исчисления, в отличие от Лейбница, исходившего из понятия определенного интеграла.

Равенство (7), пользуясь  современными символами, можно переписать так:

          (9)

Это и есть так называемая теперь «Формула Ньютона — Лейбница», содержание которой по существу восходит к И. Барроу. В ней определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего переменного предела интегрирования, представлен в виде одной из первообразных F(x)+С подынтегральной функции f(x).

Формула (8), которую можно  записать в виде

        (10)

носит название «основной  формулы интегрального исчисления». Она позволяет сводить довольно сложное вычисление определенных интегралов, т. е. нахождение пределов интегральных сумм, к сравнительно более простой операции отыскания первообразных.

Правая часть (10) записывается и в виде [F(x)] ^b_a или еще проще F(x) |^b_a.

Итак, задача вычисления площади фигур, т. е. квадратура, ведет к понятиям как определенного, так и неопределенного интегралов. Вот почему вычисление интегралов стали называть квадратурой. Написанная вскоре после «Метода флюксий» и опубликованная в 1704 г. работа Ньютона «Рассуждение о квадратуре кривых» была посвящена в основном интегрированию некоторых сложных выражений.

 

§ 6. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона

 

В предыдущей беседе показано, что определенный интеграл

,

где f(x) есть заданная на отрезке [а, b] непрерывная функция, вычисляется по формуле (10), т. е. с помощью первообразной F(x) функции f(x). Однако ввиду того, что ученики X класса умеют выражать первообразную через элементарные функции лишь для сравнительно небольшого класса функций, то для практических и других целей часто приходится пользоваться методами приближенного интегрирования, применяя соответствующие приближенные формулы. Одна из них, служащая для вычисления площади (криволинейной трапеции ABCD) под кривой y=f(x), носит название параболической формулы или формулы Симпсона и имеет следующий вид:

  (1)

Рис. 7.

где h = AB — основание или высота трапеции (рис. 7), п — число равных частей, на которые разделен отрезок АВ, y₀=AD, y_1/2 = EF₁ (АЕ = ЕВ), у₁ = ВС. Каждый из п промежутков, на который разделен отрезок АВ, в свою очередь делится пополам с помощью точек х_1\2, x_3\2, …, x_n-1\2.

Формула (1) получается путем  замены дуги CD данной кривой y=f (х) дугой параболы (начерченной на рисунке 30 штриховой линией) с вертикальной осью, проходящей через три точки С, F, D данной кривой. Уравнение параболы имеет вид: