История интегрального исчисления

у = ах² + bх + с.     (2)

Площадь S под параболой вычисляется точно:

 

Имея в виду, что

 получим:

 

Итак,

 

Эту точную формулу иногда тоже называют «формулой Симпсона». На основании ее можно получить формулу (Симпсона) для объема тела.

Английский математик  и педагог Томас Симпсон (1710—1761), сын ткача, самоучка, не получил специального математического образования. Благодаря  своему трудолюбию, таланту и интересу к математике он настойчиво самостоятельно в совершенстве овладел дифференциальным и интегральным исчислением. В 33-летнем возрасте Симпсон стал преподавателем математики. Он написал трактат о флюксиях, книгу по теории вероятностей и целый ряд очень ценных в то время учебников и сборников задач по алгебре, геометрии и тригонометрии. Вышеприведенная формула (1), носящая его имя, была опубликована в его «Математических рассуждениях на физические и аналитические темы» (1743). Фактически эта формула была им лишь вновь открыта. Он не знал, что ее содержание было до него известно Торричелли (1644), Грегори (1668), Ньютону (1676) и Котесу (1722).

 

§ 7. Интегральное исчисление в трудах Эйлера и других ученых XVIII—XIX вв.

 

В XVIII в. наибольший вклад в развитие и популяризацию дифференциального и интегрального исчисления внес Леонард Эйлер. До него, кроме «Анализа бесконечно малых» Лопиталя (1696), содержащего лишь начальные сведения по дифференциальному исчислению, и курса лекций по интегральному исчислению И. Бер- нулли (1742), составленных, как и книга Лопиталя в 90-х годах XVII в., не было никаких учебников или общих руководств по этой новой отрасли науки. Указанные две книги значительно устарели и в первой половине XVIII в. отстали от развития анализа. Остро чувствовалась потребность в новом систематическом курсе. Это обстоятельство и побудило Эйлера составить полный курс математического анализа. Этот курс состоит из следующих книг:

«Введение в анализ бесконечных», 2 тома, 1748,

«Дифференциальное исчисление», 1 том, 1755 и

«Интегральное исчисление», 3 тома, 1768—1769.

 Книга «Интегральное исчисление» Эйлера содержит, кроме разных методов вычисления интегралов функций, учение об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, в котором изложен ряд его собственных результатов, ставших классическими уже во второй половине XIX в., созданную им теорию уравнений с частными производными, вопросы вариационного исчисления, одним из творцов которого он был, и другие важные темы и разделы анализа. Метод изложения Эйлера весьма близок к современ- ному./Например, элементарные вопросы интегрирования функций в наших учебных руководствах излагаются почти так же, как они изложены у Эйлера, если не считать употребления им слова «количество» вместо слова «величина». (^/г

Из первой страницы книги Эйлера «Интегральное исчисление» (т. I):

Определение 1

Интегральное исчисление есть метод, посредством которого по данному соотношению между дифференциалами, количеств находят соотношение между своими количествами, а действие, с помощью которого это достигается, называется интегрированием.

Следствие 1

Значит, в то время  как дифференциальное исчисление учит находить соотношение между дифференциалами  по данному соотношению между переменными количествами, интегральное исчисление дает метод решения обратной задачи.

Следствие 2

В анализе постоянно  попарно противопоставляются друг другу два действия, как например вычитание противопоставляется сложению, деление — умножению, извлечение корня — возведению в степень. Подобным же образом интегральное исчисление противопоставляется дифференциальному исчислению.

Следствие 3

Если предложено некоторое  соотношение между двумя переменными количествами х и у, то дифференциальное исчисление дает метод разыскания отношения дифференциалов dy: dx; если же, наоборот, по этому отношению дифференциалов требуется определить соотношение самих количеств х и у, то эта задача относится к интегральному исчислению.

Далее следует пример.

Так как дифференциалы следующих функций от х

 

то, пользуясь знаком интегрирования ò , мы, очевидно, получим:

 Отсюда яснее видно, как применяется этот знак.  Итак, в отличие от Лейбница у Эйлера, как и у Ньютона, исходным является понятие первообразной, т. е. неопределенного интеграла. Исходить из интегральной суммы по образцу Лейбница Эйлер не мог уже потому, что его бесконечно малые по определению были нулями. Определенный интеграл был для Эйлера частным случаем неопределенного, одной из первообразных. Поэтому Эйлер вообще не писал пределов интегрирования, а выражал этот факт словесно, Вместо ныне принятого Эйлер в последние годы жизни писал:

 

где латинские слова ab и ad означают от и до,

В «Интегральном исчислении»  Эйлер излагает многочисленные различные  приемы вычисления не только неопределенных интегралов, но и определенных, применяя и развивая новые методы, как например интегрирование по параметру, использование разных подстановок и др. Он вычислил много труднейших определенных интегралов  и открыл ряд новых важнейших интегралов.

Он разработал и метод для приближенного вычисления определенных интегралов.

На трудах Эйлера воспитывалось  по крайней мере целое поколение математиков второй половины XVIII в. и первой четверти XIX в. Об этом свидетельствуют известные слова одного из крупнейших ученых того времени, автора пятитомного «Трактата о небесной механике» П. С. Лапласа (1749—1827):

«Читайте, читайте Эйлера: это наш общий учитель...». Академик Михаил Васильевич Остроградский около середины XIX в. писал: «Эйлер создал современный анализ, обогатил его один сам более, чем все его предшественники вместе, и сделал из него самый могущественный инструмент ума человеческого. Он один охватил анализ во всем его объеме и указал на многочисленные и разнообразные его применения... Эйлер обязан этой славе благодаря тому перевороту, который он произвел в математических науках, подвергнув их все анализу, благодаря своей работоспособности, позволившей ему объять все эти науки во всем их объеме, благодаря методическому порядку, внесенному им в свои многочисленные труды, благодаря простоте и доступности своих формул, ясности своих методов и своих доказательств»

Наряду с Эйлером  выдающихся результатов в области  математического анализа добился другой крупнейший математик XVIII в. —Ж. Л. Лагранж. Он в 18-летнем возрасте уже занял должность профессора в артиллерийской школе родного города (г. Турин, Италия), а через пять лет был избран членом Берлинской Академии наук, президентом которой он был в 1766—1787 гг. С 1772 г. он состоял и членом Парижской Академии наук. В Париже Лагранж жил с 1787 г. до последних дней своей жизни (1813).

Лагранжу принадлежат  оценка остаточного члена ряда Тейлора, формула конечных приращений, теория условных экстремумов. Основываясь на результатах Эйлера, он впервые систематически изложил основные понятия вариационного исчисления, ставшего благодаря ему самостоятельной ветвью математического анализа. В своей «Теории аналитических функций» (1797) Лагранж сделал попытку обосновать дифференциальное исчисление чисто алгебраически, освободив его от туманных в то время понятий бесконечно малой и предела. Однако новое исчисление Лагранжа оказалось сложнее обычного дифференциального исчисления. Важнейшим, ставшим классическим трудом Лагранжа является его «Аналитическая механика» (1788), построенная методами математического анализа, изложенная как дедуктивная наука.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Многие из результатов, полученных в области математического  анализа в XIX в., берут свое начало в трудах Эйлера. Однако, как мы уже знаем, с 20-х годов прошлого столетия О. Коши (наряду с Гауссом, Абелем и Больцано) выступил как новатор в анализе и, пересмотрев основы интегрального исчисления, построил свой курс анализа на более стройных логических началах. Работы Коши основаны на систематическом использовании понятия предела, в них впервые были изложены современные определения понятий предела, производной, непрерывной функции и их основные свойства.

Другие открытия им были сделаны даже раньше Вейерштрасса, например: долгое время считали, что Вейерштрасс впервые в 1875 г. открыл, что не всякая непрерывная функция имеет производную, т. е. что не всякая непрерывная кривая имеет всюду касательную. На самом же деле Больцано еще в 20-х годах XIX в. построил непрерывную функцию, не имеющую конечной производной. Определенный интеграл, рассматриваемый как предел интегральной суммы.

Теория интеграла была затем развита Б. Риманом, который  первый определил необходимые и  достаточные условия интегрируемости ограниченной функции. Ему принадлежит общее определение интеграла («определенного»), поэтому интегральную сумму и стали называть «римановой», хотя по существу это понятие восходит еще к Архимеду, а в современной форме для случая непрерывной функции им пользовался Коши.

Большой вклад в развитие математического анализа в XIX в. внесли М. В. Остроградский и П. Л. Чебышев.

Михаилу Васильевичу  Остроградскому принадлежат важнейшие  результаты в области интегрального  исчисления: формула, сводящая вычисление тройного (и, вообще, n-кратного) интеграла к вычислению двойного [(n—1)-кратного] интеграла, общий прием интеграции рациональных функций, формула преобразования переменных в многомерных интегралах и др. Пафнутий Львович Чебышев посвятил шесть больших мемуаров интегрированию алгебраических функций. Среди его классических результатов имеется знаменитая теорема об интегрировании биномиальных дифференциалов, содержащаяся в мемуаре, опубликованном в 1853 г. и озаглавленном «Об интегрировании иррациональных дифференциалов». В анализе большую роль играют «полиномы Чебышева». Современная, так называемая «конструктивная теория функций» выросла из учения Чебышева о наилучшем приближении функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1. Глейзер Г.И. История математики  в средней школе: пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1970 г. – 461 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1988.
3. Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедия т.10.  М., “Советская энциклопедия”, 1972.
4. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. – М.: Просвещение, 1997 г. – 159 с.
5. Рыбников К.А. История математики. – М.: изд-во Моск-го ун-та, 1996г. – 180 с.
6. Стиллвелл Д. Математика и ее история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 285.
7. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — С. 295.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.
9. http://www.sosmath.com
10. http://ru.wikipedia.org
11. http://eqworld.ipmnet.ru

¹ S— греческая буква «сигма». В своем «Дифференциальном исчислении» Эйлер пишет: «Как для обозначения разности мы пользовались знаком Д, так сумму мы будем обозначать знаком S».

² Независимо от Кавальери результат (2) нашли Валлис и Декарт.

³ Переход от (1) к (2) мы называем интегрированием дифференциального уравнения (I). Равенство (3) намекает на то, что sinj является первообразной функцией для соsj