Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

(3.5)

Проведём обоснование  такой процедуры в евклидовой норме.

Ведём в рассмотрение функцию-невязку  для уравнения (3.1)

Найдём градиент , используя  представление

С этой целью выделим главный  член приращения

Следовательно, по определению 

Обозначим и найдём производную  функции в точке по направлению :

если .

Таким образом, - есть направление  спуска для функции в точке  для малых . Это значит, что выбор  шага согласно условию (3.5) возможен.

2.3.2 Квазиньютоновкие методы

Одним из недостатков метода Ньютона является необходимость  вычислять матрицу Якоби и  решать систему линейных алгебраических уравнений. Это требует значительных расходов машинных действий, объём  которых резко возрастает с увеличением  размерности системы. Поэтому были разработаны модификации метода Ньютона, в которых на протяжении итерационного процесса вместо построения самой матрицы Якоби или её обратной строится их аппроксимация. Это позволяет существенно сократить количество арифметических действий на итерации. Такие методы решения систем нелинейных уравнений получили название квазиньютоновских. Большинство известных квазиньютоновских методов сходится локально с надлинейной скоростью сходимости при тех самых предположениях о свойствах функции , которые были сделаны при использовании метода Ньютона, который имеет квадратичную скорость сходимости. Квазиньютоновские методы можно разделить на два тесно связанных между собой класса методов в зависимости от того, что аппроксимируется - матрица Якоби или ей обратные.

Рассмотрим первый из классов, где матрица В_к с размерами п х п аппроксимирует матрицу . Перед началом итераций задают начальную точку а матрицу В_о обычно получают, или допуская, что она является единичной, или аппроксимируя конечно-разностными формулами. Потом для k = 0, 1.... вычисляют

Где -- n- мерный вектор, который является параметром рассматриваемого класса методовв. Если взять таким, что равняется ,то будем иметь первый метод Бройдена. Выбор соответствует методу Пирсона, а -- симметрическому методу первого ранга.

Во втором из рассматриваемых  здесь классов квазиньютоновских методов матрица с размерами п х п аппроксимирует матрицу . Перед началом итерации задают начальную точку х^{0) и матрицу , которая обычно или равна единичной, или является обратной к конечно-разностной аппроксимации . Потом вычисляют

где -- n-мерный вектор, который  является параметром рассматриваемого класса методов. Конкретный вид вектора  отвечает соответствующему методу: например, -- второму методу Бройдена, -- методу Мак-Кормика.

Заметим, что если задать то можно вести перерасчет не В_к, а матриц по формуле

(3.30)

эквивалентной (3.27). Это требует  порядка 0(п²) арифметических действий вместо 0(п³), необходимых для решения системы линейных уравнений .

Как видно из (3.30), между  формулами (3.27) и (3.29) имеет место  определенная связь. Так.если , то при . Таким образом, один и тот же метод может реализоваться двумя разными формулами (3.27) и (3.29), которые эквивалентные теоретически, но их численная реализация может отличаться по эффективности.

Рассмотрим, например, первый метод Бройдена. Его можно реализовать по формуле (3.27) так, что это потребует в общем 0(n³) арифметических действий. Это оказывается возможным, если подать матрицу В_к в виде произведения , где -- ортогональная, а -- верхняя треугольная матрица. Действительно, в этом случае решение системы нуждается в только 0(n³) арифметических действий. Имея, на представление матрицы В_к+1, которая удовлетворяет (3.27) в виде , необходимо 0(п²) арифметических действий. Важное преимущество формулы (3.27) перед (3.39) заключается в том, что в (3.27) нет необходимости умножения матрицы на вектор, поскольку

Существуют квазиньютоновские методы, которые учитывают симметричность матрицы Якоби и вырабатывают последовательность симметричных матриц В_к, (или). Эти методы также можно разделить на два класса. В первом из них матрица В_к аппроксимирует F(х). В отличие от описанного выше класса, который задается формулами (3.26) и (3.27), здесь нужна симметричность матрицы Во, и вместо (3.27) используется формула

где значение параметра отвечает симметричному варианту Пауелла методу Бройдена, а -- методу Давидона - Флечера - Пауелла.

Во втором из рассматриваемых  классов квазиньютоновских методов матрица Н_к аппроксимирует матрицу . Здесь матрица Н_о должна быть симметричной, а вместо (3.29) используется формула

Где соответствует методу Бройдена-Флечера-Голвдфарба-Шенно, что является одним из наилучших (с вычислительной точки зрения), который учитывает симметричность матрицы Якоби.

Описанные выше квазиньютоновские методы сходятся лишь при достаточно хорошом начальном приближении х⁽⁰⁾. Для расширения области их сходимости можно использовать прием, который имеет название одномерного поиска.

Пусть имеем квазиньютоновское направление (или ). Используем длину шага = 1 и проверим неравенство

(3.34)

где - евклидовая норма. Если оно выполняется, то заканчиваем  одномерный поиск и считаем

(3.35)

т.е. уменьшаем длину шага (устанавливая, например, ), пока не выполнится (3.34). На этом заканчиваем одномерный поиск и переходим к формуле (3.35).

Как видим, одномерный поиск (в случае успеха) обеспечивает монотонное уменьшение нормы отклонения с ростом к. Если квазиньютоновское направление сильно отличается от ньютоновского, то одномерный поиск может оказаться неудачным, и тогда необходимо возобновить матрицу В_к, (или)., приравняв ее, например, конечно-разносной аппроксимации матрицы Якоби (или ). Критерием окончания итераций для квазиньютоновских методов есть неровность

 

3. Другие итерационные  методы решения систем нелинейных  уравнений

3.1 Метод Пикара

Существуют также итерационные методы решения систем нелинейных уравнений, которые учитывают вид конкретной системы.

Так, если в уравнениях системы  можно выделить линейную l(X) и нелинейную g(X)части функций f_i(X) = l_i(X) + g_i(x), то удобней применить к ней метод Пикара.

В таком случае систему  уравнений можно записать в виде

l_i(X) = - g_i(X), i=1,2,3...n;

или в векторной форме A? X= - G(X);

где A- матрица коэффициентов линейных частей уравнений;

G(X) - вектор-функция нелинейных  частей уравнений.

Выберем некоторый начальный  вектор X⁽⁰⁾ и построим итерационный процесс в виде

A? X^(k+1)=-G(X^(k)).

Для выполнения одной итерации таким методом необходимо решать систему линейных уравнений, у которой  вектором свободных членов будут  нелинейные части функций f_i(X). Причем поскольку матрица A остается неизменной при всех итерациях, то для решения СЛАУ можно использовать специальные алгоритмы, предусматривающие возможность преобразования только столбца свободных членов.

 

3.2 Метод релаксаций

Перепишем систему в виде

X=X+? F(X),

где ? - некоторая константа, и построим итерационный процесс  по схеме

X^(k+1) = X^(k) +? ? F(X^(k)).

Параметр ? должен быть таким, чтобы в окрестности решения  выполнялось достаточное условие  сходимости

||Е+? ? W|| < 1,

где E- единичная матрица.

На практике выполнение этого  условия достаточно сложно проверить, поэтому значение параметра ? выбирают пробным путем, проверяя выполнение необходимого условия сходимости после  выполнения каждой итерации

||X^(k)-X^(k-1)||<||X^(k-1)-X^(k-2)||.

Если окажется, что на какой-либо итерации это условие  не выполняется, то необходимо изменить значение параметра ?.

3.3 Метод градиентного  спуска

Пусть имеем систему уравнений (А)

Предположим, что функции  действительные и непрерывно дифференцированные в их общей области определения. Рассмотрим функцию 

(В)

Очевидно, что каждое решение  системы (А) превращает в ноль функцию U(x); наоборот, числа , для которых функция U(x) равняется нулю, является корнем системы (А).

Предположим, что система  имеет лишь изолированное решение, которое представляет собой точку  строго минимума функции U(x) в n-мерном пространстве .

Пусть x - вектор системы (А) и x0 - его нулевое приближение. Через точку x0 проведем поверхность уровня функции U(x). Если точка x0 довольно близка к корню x, то при наших предположениях поверхность уровня

U(x)= U(x0)

будет похожа на эллипсоид.

Из точки x0 движемся по нормали к поверхности U(x)= U(x0) до тех пор, пока эта нормаль не затронет в некоторой точке x1 какой-то другой поверхности уровня U(x)= U(x1).

Потом, отправляясь от точки x1, снова движемся по нормали к поверхности уровня U(x)= U(x1) до тех пор, пока эта нормаль не затронет в некоторой точке x2 новой поверхности уровня U(x)= U(x2), и т.д.

Поскольку U(x0)>U(x1)>U(x2)>..., то, двигаясь таким путем, мы быстро приближаемся к точке с наименьшим значением U ("дно ямы"), что отвечает искомому решению исходной системы. Обозначим через

градиент функции U(x).

Находить нужное решение  будем по формуле:

Остается определить множители . Для этого рассмотрим скалярную функцию

Функция () дает изменение уровня функции U вдоль соответствующей нормали к поверхности уровня в точке x_p. Множитель надо выбрать таким образом, чтобы () имела минимум. Беря производную по и приравнивая ее нулю, получаем уравнение

.

Наименьший положительный  корень этого уравнения и даст нам значение .

Будем считать, что - малая  величина, квадратом и высшими  степенями которой можно пренебрегать. Имеем:

Раскладывая функции за степенями  с точностью до линейных членов, получим:

,

где .

Отсюда 

Итак,

, где 

- матрица Якоби вектор- функции f.

Дальше, имеем:

.

Отсюда 

 

,

где W'(x) - транспонированная матрица Якоби.

Поэтому окончательно

,

причем 

.

 

3. Программная реализация  итерационных методов

Реализация алгоритмов итерационных методов решения систем нелинейных уравнений будет показана на примере  системы:

3.1 Метод простых итераций

Приведём систему к  виду:

Проверим условие сходимости метода простых итераций.

Для этого построим матрицу  Якоби 

> f1:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

f2:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

f3:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

> f1x:=diff(f1,x0):

> f1y:=diff(f1,y0):

> f1z:=diff(f1,z0):

> f2x:=diff(f2,x0):

> f2y:=diff(f2,y0):

> f2z:=diff(f2,z0):

> f3x:=diff(f3,x0):

> f3y:=diff(f3,y0):

> f3z:=diff(f3,z0):

> A:=<<f1x|f1y|f1z>,<f2x|f2y|f2z>,<f3x|f3y|f3z>>;

И найдём ей обратную, норму  обратной матрицы сначала в общем  виде:

> A1:=MatrixInverse(A);

> norma:=MatrixNorm(A1,1);

Найдём значения при которых  норма обратной матрицы Якоби  меньше единицы.

> x0:=1; y0:=1; z0:=1;

> norma;

Это означает, что по формулам

последовательность итераций будет сходиться к решению  системы уравнений.

Построим итерационную последовательность

> restart;

> with(LinearAlgebra):

> x0:=0:

y0:=0:

z0:=0:

> x:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

y:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

z:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

i:=1;

> while (abs(x-x0)>0.0001)and(abs(y-y0)>0.0001)and(abs(z-z0)>0.0001) do

x0:=x:

y0:=y:

z0:=z:

x:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

y:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

z:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

i:=i+1;

end do:

Получили ответ:

Количество итераций:

Погрешность решения:

Отсюда можно получить коэффициент сжатия последовательности:

При

> P:= 0.3*q^22/(1-q)-0.0001;

> q:= fsolve(P);

Таким образом можно сказать, что было построено сжимающее  отображение, для которого выполняется  условие Липшица

Текст программы:

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

var i:integer;

x0,y0,z0,x,y,z,eps: real;

begin

x0:=StrToFloat(Edit1.Text);

y0:=StrToFloat(Edit2.text);

z0:=StrToFloat(Edit3.Text);

eps:=StrToFloat(Edit20.Text);

i:=1;

x:=0.1-x0*x0+2*y0*z0;

y:=-0.2+y0*y0-3*x0*z0;

z:=0.3-z0*z0-2*x0*y0;

repeat

i:=i+1;

x0:=x;

y0:=y;

z0:=z;

x:=0.1-x0*x0+2*y*z;

y:=-0.2+y0*y0-3*x0*z0;

z:=0.3-z0*z0-2*x0*y0;

until ((abs(x-x0)<eps)and(abs(y-y0)<eps)and(abs(z-z0)<eps));

Edit8.Text:=FloatToStr(x);

Edit9.Text:=FloatToStr(y);

Edit10.Text:=FloatToStr(z);

Edit11.Text:=IntToStr(i);

end;

Преобразование Эйткена на примере метода простых итереций:

> restart;

> x0:=0:

y0:=0:

z0:=0:

> f1:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

f2:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

f3:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

ff1:=0.1-f1^2+2*f2*f3;

ff2:=-0.2+f2^2-3*f1*f3;

ff3:=0.3-f3^2-2*f1*f2;

x:=(x0*ff1-f1^2)/(ff1-2*f1+x0);

y:=(y0*ff2-f2^2)/(ff2-2*f2+y0);

z:=(z0*ff3-f3^2)/(ff3-2*f3+z0);

i:=1;

while (abs(x-x0)>0.0001)do

x0:=x:

y0:=y:

z0:=z:

f1:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

f2:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

f3:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

ff1:=0.1-f1^2+2*f2*f3;

ff2:=-0.2+f2^2-3*f1*f3;

ff3:=0.3-f3^2-2*f1*f2;

x:=(x0*ff1-f1^2)/(ff1-2*f1+x0);

y:=(y0*ff2-f2^2)/(ff2-2*f2+y0);

z:=(z0*ff3-f3^2)/(ff3-2*f3+z0):

i:=i+1;

end do:

Получили ответ:

Количество итераций:

3.2 Метод градиентного  спуска

Построим функцию:

> U:=(0.1-x^2+2*y*z-x)^2+(-0.2+y^2-3*x*z-y)^2+(0.3-z^2-2*x*y-z)^2;

Найдём градиент функции:

> Ux:= diff(U,x);

Uy:= diff(U,y);

Uz:= diff(U,z);

Выберем начальное приближение  и построим итерационную последовательность:

> x:=0;

y:=0;

z:=0;

> N1:=2*(.1-x^2+2*y*z-x)*(-2*x-1)-6*(-.2+y^2-3*x*z-y)*z-4*(.3-z^2-2*x*y-z)*y;

> N2:=4*(.1-x^2+2*y*z-x)*z+2*(-.2+y^2-3*x*z-y)*(2*y-1)-4*(.3-z^2-2*x*y-z)*x;

> N3:=4*(.1-x^2+2*y*z-x)*y-6*(-.2+y^2-3*x*z-y)*x+2*(.3-z^2-2*x*y-z)*(-2*z-1);

> x:=x-lambda*N1;

y:=y-lambda*N2;

z:=z-lambda*N3;

i:=1;

> N1:=2*(.1-x^2+2*y*z-x)*(-2*x-1)-6*(-.2+y^2-3*x*z-y)*z-4*(.3-z^2-2*x*y-z)*y;

N2:=4*(.1-x^2+2*y*z-x)*z+2*(-.2+y^2-3*x*z-y)*(2*y-1)-4*(.3-z^2-2*x*y-z)*x;

N3:=4*(.1-x^2+2*y*z-x)*y-6*(-.2+y^2-3*x*z-y)*x+2*(.3-z^2-2*x*y-z)*(-2*z-1);

x:=x-lambda*N1;

y:=y-lambda*N2;

z:=z-lambda*N3;

> while (abs(N3)>0.0001) do

N1:=2*(.1-x^2+2*y*z-x)*(-2*x-1)-6*(-.2+y^2-3*x*z-y)*z-4*(.3-z^2-2*x*y-z)*y:

N2:=4*(.1-x^2+2*y*z-x)*z+2*(-.2+y^2-3*x*z-y)*(2*y-1)-4*(.3-z^2-2*x*y-z)*x:

N3:=4*(.1-x^2+2*y*z-x)*y-6*(-.2+y^2-3*x*z-y)*x+2*(.3-z^2-2*x*y-z)*(-2*z-1):

x:=x-lambda*N1:

y:=y-lambda*N2:

z:=z-lambda*N3:

i:=i+1:

end do:

Получили ответ:

Количество итераций и  данным шагом :

Текст программы:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

const

lambda=-0.0001;

n=3;

type mas=array[1..n]of real;

var //x,y,z:real;

Xp,nab,v:mas;

i:integer;

eps:real;

function max(x:mas):real;

var s:real;

i:integer;

begin s:=abs(x[1]);

for i:=2 to 4 do if abs(x[i])>s then s:=abs(x[i]);

max:=s;

end;

Procedure add(var a,b:mas);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

a[i]:=a[i]+b[i];

end;

end;

Procedure mult(a:mas;c:real;var v:mas);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

v[i]:=a[i]*c;

end;

end;

procedure nabla(Xp:mas; var nab:mas);

begin

nab[1]:=2*(0.1-xp[1]*xp[1]+2*xp[2]*xp[3]-xp[1])*(-2*xp[1]-1)-6*(-0.2+xp[2]*xp[2]-3*xp[1]*xp[3]-xp[2])*xp[3]-4*(0.3-xp[3]*xp[3]-2*xp[1]*xp[2]-xp[3])*xp[2];