Изучение распространения тепла в пластине

 

Кафедра прикладной математики

 

                                                                         

 

 

Учебная дисциплина: Вычислительная математика

 

 

Пояснительная записка  к курсовой работе.

Тема: “Изучение распространения  тепла в пластине”.

Вариант №2.

 

 

 

                      Студент:

                      Преподаватель:

                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                      

 

 

 

                           

Оглавление

Раздел:      стр:

1. Исходные физические и математические модели. Постановка задачи.   3
1. Нелинейная модель с распределёнными параметрами.    3
2. Нелинейная модель с сосредоточенными параметрами.    4
3. Линейная модель с сосредоточенными параметрами.    4
4. Исходные данные.         5
2. Построение оценки зависимости коэффициента конвективного теплообмена от

температуры.           6

3. Определение момента установления температуры окружающей среды.   7

   3.1 Уточнение корня методом  половинного деления.     8

   3.2 Уточнение корня комбинированным  методом.     9

   3.3 Уточнение корня методом итераций.       11

4. Вычисление интеграла I.         12

   4.1 Вычисление интеграла  J по формуле прямоугольников.    12

   4.2 Вычисление интеграла  J по формуле трапеций.     13

   4.3 Вычисление интеграла  J по формуле парабол (Симпсона).    14

5. Приближённое решение задачи Коши.       15

   5.1 Решение задачи Коши  методом Эйлера.      16

   5.2 Решение задачи Коши  методом Рунге-Кута.      17

6. Вывод.            18

 

 

 

1. Исходные физические и математические модели. Постановка задачи.

На практике часто встречается задача исследования температурного поля внутри тел различной формы. Пусть однородная пластина толщины D, имеющая в начальный момент времени температуру U₀, помещена в среду с температурой Q, изменяющейся во времени по заданному закону Q = Q(t). Считая толщину пластины малой по сравнению с остальными размерами пластины, можно рассматривать температуру ее внутренних точек как функцию

U=U(t), где x

[-D/2,D/2] – абсцисса данной точки пластины,

t≥0 – время.

Очевидно, что в силу симметрии задачи U(x,t) – чётная функция аргумента x, поэтому её достаточно рассматривать при x [0,D/2].

1. Нелинейная модель с распределёнными параметрами

 

Функция U(x,t) будет представлять собой решение уравнения теплопроводности:

 

 

 

удовлетворяющими начальному условию                      

 

и граничным условиям:

        , где

– коэффициент температуропроводности материала пластины

- коэффициент теплопроводности материала пластины.

- коэффициент конвективного  теплообмена между пластиной  и окружающей среды

Уравнение теплопроводности, начальные условия и граничные условия вместе составляют начальную краевую задачу, решением которой является функция .

Обычно коэффициенты в первом приближении считают постоянными (при этом краевая задача является линейной). Однако на практике это не всегда справедливо. В частности, они могут зависеть от температуры, и задача становится нелинейной, что значительно осложняет её решение.

В данной работе рассматривается  случай, когда  и можно считать постоянными, а коэффициент конвективного теплообмена представляет собой некоторую функцию температуры.

Будем считать, что коэффициент конвективного теплообмена зависит от температуры пластины по закону:

, где - известные функции, а

- это неизвестные, подлежащие  оценке, коэффициенты на основании  экспериментальных данных.( 1-й этап курсовой работы)

 

Кроме того, в работе предполагается, что температура среды возрастает по известному закону до некоторой  заданной величины, после чего автоматически поддерживается постоянной (термостат), то есть

   , где - некоторая функция, а – известные коэффициенты; известные функции

функция , определённая при t≥0, и величина Q₀ — заданы, а момент t₀ достижения установленной температуры определяется как корень уравнения

j(t) = Q₀ ( 2-й этап курсовой работы)

 

 

2. Нелинейная модель с сосредоточенными параметрами.

В случае если градиенты  температуры в пластине невелики (при ), то в качестве температуры пластины можно взять среднюю по толщине температуру пластины.

Задача Коши:

 - нелинейное диф. уравнение 1 порядка и начальные условия.

Полученную нелинейную задачу Коши можно решить методами Рунге-Кутта и Эйлера. (Решение этой задачи - 4-й этап курсовой работы).

 

3. Линейная модель с сосредоточенными параметрами.

Будем считать, что

  где - постоянная времени системы.

Решение линейной задачи Коши:

 

Это решение рассмотрим при  :

Обозначим     для

 

 

Приближённое вычисление интеграла I 3-й этап курсовой работы. Сравнивая этот результат с решением задачи Коши, можно оценить влияние, оказываемое на процесс установления температуры переменным характером коэффициента α. Если окажется, что это влияние незначительно и на практике им можно пренебречь, то, очевидно, и при решении исходной задачи будет оправданным считать .

 

4. Исходные данные.

 

A [м2/ч]	λ [ккал/м*ч*°С]	D [м]	U0 [°C]	Θ0 [°C]
0.07	194	0.0022	41	166

 

, где

P [°C]	S [сек-4]	Q [сек-2]
24	1.04	7.93

 

φ1(T)	φ2(Q,T)	f1(Y)	F2(Y)
T4	ln(1+Q·T2)	Y4	(cos(G·Y)·Y)2

 

где        G=0.7

 

Ui[°C]	41.0	53.5	66.1	78.5	97.0	78.5	91.0	103.5	116.0	128.5	166.0
αi[ккал/м2ч°С]	3470	3481	3474	3490	3524	3520	3525	3543	3608	3700	3740

 

 

2. Построение оценки зависимости коэффициента конвективного теплообмена от температуры.

 

Зависимость коэффициента конвективного теплообмена α от температуры пластины U:

U₀ – начальная температура пластины

Θ₀ – температура окружающей среды после момента t_0.

Требуется на основании экспериментальных  данных (U_i, α_i) i=0,1,...,10 построить оценки неизвестных коэффициентов .

Оценки коэффициентов будем искать по методу наименьших квадратов (МНК), т.е. потребуем минимума суммы , где

Необходимое (и в данном случае достаточное) условие минимума S:

 

Эта система линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными ( ) в матричном виде:

P·a = V,  где P = , где P-матрица коэффициентов, a- матрица неизвестных, V- матрица свободных членов.

detP≠0, поэтому система имеет единственное решение a = P^-1·V

 

 

 

 

 

 

Результаты расчётов, связанных с вычислением коэффициентов уравнения зависимости коэффициента конвективного теплообмена от температуры.

         XXX- Эмпирическая зависимость коэффициента.

 ___- Зависимость коэффициента по методу наименьших квадратов.

 

Таким образом, оценка зависимости  коэффициента конвективного теплообмена  от температуры будет иметь вид

α(U)=3477.967 +218.287×f₁(U) + 98.015232×f₂(U).

 

 

3. Определение момента установления температуры окружающей среды.

 

Закон изменения окружающей среды:

   где 

Момент времени t₀ определим из уравнения:

где

Согласно исходным данным получаем вид функции:

Отделение корней – поиск, по возможности, тесных промежутков, содержащих единственный корень уравнения. Условия существования  и единственности корня уравнения f(t) = 0 на [a,b]:

1. f(a)·f(b) < 0
2. f(t) – монотонна на [a,b], т.е. или .

Интервал, в котором  находится корень можно определить по графику.

 

Из графика функции  видно, что корень находится в  интервале [1.2;1.4].

 

 

1. Уточнение корня методом половинного деления.

 

Требуется найти приближённое значение корня уравнения с абсолютной погрешностью не превосходящей ε = 0,0001.

 

Для нахождения корня возьмём приближение  , , …

и проверим: если функция f(t) в точках ζ и b принимает значения разных знаков, сдвигаем границу a в точку ζ, а если одного знака, то сдвигаем границу b в точку ζ. Останавливаемся в том случае, если ׀a-b׀<ε.

Результаты вычислений методом  половинного деления:

2. Уточнение корня комбинированным методом (Ньютона).

 

Комбинированный метод  выявляет приближённое значение корня  путём приближения к нему слева  и справа методами хорд и касательных.

 

Из рисунка видно, что метод  хорд мы применяем следующим образом: берём за начальные точки точки A₀(a₀) и B₀(b₀), после чего соединяем их хордой AB. Затем находим точку пересечения этой хорды с осью ОХ и называем её a₁. Эта точка будет первым приближением к корню ζ слева. По методу касательных мы проводим касательную в точке В и также находим точку пересечения касательной с осью ОХ, которую называем b₁. Эта точка будет первым приближением к корню ζ справа.

Полученный отрезок [a₁ b₁] содержится в начальном отрезке [a b], меньше его и тоже содержит корень ζ. Дальнейшие приближения a_i находим тем же способом: проводим хорду между точками A_i-1 и B_i-1. Приближения b_i проводя касательные в точках B_i-1.

Условие применения метода – сохранение выпуклости функции на [a b], т.е. f”(t) > 0 или f “(t) < 0 на всём интервале [a b].

Рассмотрим четыре случая:

 

Из них видно, что  в тех случаях, когда первая и  вторая производная одинаковых знаков (т.е. ) на [a,b], то метод касательных нужно применять насчиная с точки b:

, -метод касательных.

, -метод секущих (хорд).

Если производные разных знаков ( ) на [a,b], то метод касательных(Ньютона) применяется начиная с точки и в формулах мы заменяем на и на . Условие окончания итераций: будем считать, что приближённое значение корня найдено, если вычисления оканчиваются, когда . За корень примем значение:

Результаты, полученные в MathCAD комбинированным методом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3 Уточнение корня методом итераций.