Изучение распространения тепла в пластине

Метод итераций применим для решения уравнений специального вида: x = φ(x);

Для решения выбирается начальное приближение x₀, принадлежащее отрезку [a,b]. Последующие приближения находятся следующим образом:

x₁ = φ(x₀), x₂ = φ(x₁), x₃ = φ(x₂), …, x_n = φ(x_n-1)

Доказывается, что последовательность x_n→ζ при n→∞, если ׀φ′(x)׀ ≤ q < 1 на [a,b].

 

 

Условия окончания итераций: , где - требуемая точность. =10^-4.

Уравнение необходимо привести к виду x= φ(x).

 

 

Приведение уравнения f(t) = 0 к виду, пригодному для метода итераций

 

, где 

Назовём то, что в правой части функцией φ(x) и выберем μ  таким образом, чтобы , где В качестве μ возьмём выражение , где m = min f′(t) на отрезке [a,b], а M = max f′(t) на отрезке [a,b].

φ′(t) = 1 - μ·f′(t)

 

1. Допустим m < 0, M < 0

 

2. Допустим m > 0, M > 0

Из пунктов 1 и 2 следует, что 

 

 

Результаты, вычислений в MathCAD методом итераций (формулы и результаты вычислений):

4. Вычисление интеграла I.

 

Для линейной модели с  сосредоточенными параметрами имела  место формула:

,    t ≥ t₀

где

,

Требуется найти приближённое значение интеграла I с абсолютной погрешностью не превосходящей 0,0001(Θ₀ – U₀)

[c]         a₀ – смотри в матрице в п.2

Обозначим через J интеграл I умноженный на T:

Абсолютная погрешность  вычисления интеграла J равна соответственно 0,0001(Θ₀ – U₀)T.

 

1. Вычисление интеграла J по формуле прямоугольников.

 

Дан интеграл , где

За шаг интегрирования выберем величину h = t₀/n, где t₀ – корень f(t) = 0, а n – число разбиений. τ_i = h·i, где i = 0,1,2,…,n;

Точное значение интеграла J = Ĵ + J, где Ĵ – приближённое значение интеграла, а J – погрешность вычисления.

Интеграл считаем как  сумму площадей прямоугольников, т.е.:

Ĵ

Оценка погрешности  формулы прямоугольников:

 Ĵ , где

Зная ε из неравенства    можно получить

Для оценки погрешности  используется правило Рунге:  
если ׀Ĵ_2n – Ĵ_n׀ ≤ 3·ε, тогда ׀J – Ĵ_2n׀ ≤ ε.

 

 

 

Результаты, полученные по формуле прямоугольников с точностью

 T=3.1555.

 

n	Jn	|J2n-Jn|
1		-
2		9.79
4		4.1
8		1.18

 

Значение интеграла  .

2. Вычисление интеграла по формуле трапеций.

Дан интеграл , где

 

Шаг интегрирования выбираем тот же, что и в методе прямоугольников: h = t₀/n;  τ_i = h·i, где i = 0,1,…,n.  Точное значение интеграла J = Ĵ + J

, где Ĵ – приближённое  значение интеграла, вычисленное  по формуле трапеций, а  J – погрешность вычисления.

Приближённое значение интеграла будем считать как  сумму площадей трапеций, показанных на рисунке:

Ĵ =

- формула трапеций

Оценка погрешности  формулы трапеций:

 Ĵ , где

Для оценки J используем правило Рунге:

если  ׀Ĵ_2n – Ĵ_n׀ ≤ 3·ε, тогда ׀J – Ĵ_2n׀ ≤ ε, где ε = 0,0001(Θ₀ – U₀)T.

Результаты, полученные по формуле трапеций с точностью

 T=3.1555.

n	Jn	|J2n-Jn|
1		-
2		27.4986
4		8.85
8		2.37
16		0.6

 

Значение интеграла  .

 

3. Вычисление интеграла J по формуле парабол (Симпсона).

Дан интеграл , где

Число n должно быть обязательно  чётным. Проводим параболы через каждые три рядом стоящие точки. Приближённое значение интеграла считаем по формуле  Симпсона:

Ĵ =

Погрешность формулы  Симпсона:

 Ĵ , где

 

Правило Рунге:

если  ׀Ĵ_2n – Ĵ_n׀ ≤ 15·ε, тогда ׀J – Ĵ_2n׀ ≤ ε, где ε = 0,0001(Θ₀ – U₀)T.

Результаты, полученные по формуле Симпсона с точностью

T=3.1555.

n	Jn	|J2n-Jn|
1		-
2		2.64

Значение интеграла  .

 

5. Приближённое решение задачи Коши.

Для нелинейной модели с  сосредоточенными параметрами было получено уравнение:

- нелинейная з-ча Коши.

,   где 

Сделаем переход к  безразмерной переменным:

Умножим уравнение на :

где

  

 

1. Решение задачи Коши методом Эйлера.

в нашем случае:

Выберем h- шаг интегрирования и построим сетку интегрирования: ; ,   где y_i = y(x_i) – сеточная функция;

;      

Расчётные формулы для  метода Эйлера:

Ломаная Эйлера.

Оценка погрешностей метода Эйлера по правилу Рунге:

, где  y(x_i) – точное значение y(x) в точке x_i; y_i – приближённое значение функции в точке x_i при шаге h; y_2i – приближённое значение функции в точке x_i при шаге h/2.

Результаты, полученные в MathCad’е:

T=3.1555 b1=6.2763·10-2 b2=2.8182·10-2

P=0.192 X0=0.3986

i	xi	yi	y2i	|y2i- yi|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0	0 0 6.1061·10-2 0.2489 0.3994 0.5202 0.6172 0.6952 0.7577 0.8077 0.8477 0.8796 0.9049 0.925 0.9409 0.9535	0 1.1372·10-2 9.2908·10-2 0.2654 0.4053 0.5191 0.6116 0.6867 0.7477 0.7971 0.8371 0.8671 0.8954 0.9164 0.9332 0.9466	0 1.1372 ·10-2 0.031847 0.0165 0.0059 0.0011 0.0056 0.0085 0.01 0.0106 0.0106 0.0125 0.0095 0.0086 0.0077 0.0069

 

2. Решение задачи Коши методом Рунге-Кута.

в нашем случае:

Расчётные формулы метода Рунге-Кута.

Пусть h – шаг интегрирования.

где  

i = 0,1,2,...

Оценка погрешности  метода Рунге-Кута:

y(x_i) – точное значение y(x) в точке x_i;

y_2i – приближённое значение y(x_i), полученное при шаге интегрирования h/2;

y_i – приближённое значение y(x_i), полученное при шаге интегрирования h/2;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0	0 2.39·10-2 0.1291 0.2872 0.4169 0.5234 0.6109 0.6828 0.7417 0.7899 0.8294 0.8616 0.8878 0.9092 0.9265 0.9406	0 2.3581·10-2 0.1288 0.287 0.4167 0.5233 0.6108 0.6827 0.7416 0.7899 0.8294 0.8616 0.8878 0.9092 0.9265 0.9406	0 2.126·10-5 2·10-5 1.44·10-4 1.33·10-5 6.66·10-6 6.66·10-6 6.66·10-6 6.66·10-6 0 0 0 0 0 0 0

 

 

Возвращение к размерным  переменным.

Для того, чтобы построить  интересующую нас зависимость U(t) для нелинейной модели, необходимо вернуться к размерным переменным по формулам:

t_i = x_i∙T [c],   U_i = U₀ + (Θ₀ - U₀)∙y_I [ºC],

 где данные взяты по методу Рунге-Кутта при шаге h=0.2.

Для линейной модели с  сосредоточенными параметрами:

,

где интеграл I найден при помощи метода парабол.

ti	Unelini	Ulini
0	41	-
0.6311	43.9875	-
1.2622	57.1349	57.1652
1.8933	76.8941	76.8936
2.5244	93.1102	93.0458
3.1555	106.35	106.277
3.7866	117.37	117.1
4.4178	126.356	125.96
5.0489	133.712	133.22
5.68	139.745	139.16
6.3111	144.689	144.03
6.9422	148.7	148.01
7.5733	151.986	151.27
8.2044	154.65	153.94
8.8355	156.82	156.13
9.4666	158.58	157.92