Экспоненциальное распределение и его применение

13

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1.      Определение и числовые характеристики экспоненциального распределения…………………………………………………………………4

2.      Функция надежности…………………………………………………………6

Показательный закон надежности……………………………………6

Характеристическое свойство показательного закона надежности..7

3.      Системы массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса……………………………………………………………………….9

4.      Задачи с решениями…………………………………………………………11

5.      Список литературы………………………………………………………….13

6.      Приложения………………………………………………………………….14

Введение

Экспоненциальный закон распределения случайных величин занимает весьма важное место в таких разделах теории вероятностей как теория надежности и теория массового обслуживания. Многие процессы окружающего нас мира подчиняются именно показательному закону распределения, подтверждение этих фактов мы можем найти в физике, экономике, химии и других науках. К примеру, по экспоненте распределены размеры капелек воды в равновесном тумане и капелек жира в молоке. Кинетические энергии звезд в звездных скоплениях и галактиках также распределены по экспоненте. Экспоненциальный вид имеет функция, описывающая число галактик в определенном интервале величин их светимости. Это всего лишь малая часть тех примеров, которые можно привести. Все эти факты лишь подтверждают, что данная тема весьма актуальна на сегодняшний день.

В данной работе рассматривается роль экспоненциального распределения в теории надежности и в системах массового обслуживания. На вопрос о применении показательного распределения в технике отвечает вторая глава. Так же в работе присутствуют задачи с подробным решением и два приложения, для большей наглядности, с графиками плотности и функции показательного распределения.

1. Определение и числовые характеристики экспоненциального распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет экспоненциальный (показательный) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

См. Приложение 1.

Из определения видно, что экспоненциальное распределение определяется одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки  (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т.д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Итак,

См. Приложение 2.

Из полученной формулы можно найти математическое ожидание случайной величины Х:

Используя метод интегрирования по частям, получим

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра .

Найдем дисперсию:

Интегрируя по частям, получим

Следовательно,

.

Теперь мы можем вычислить среднее квадратическое отклонение извлечением квадратного корня из дисперсии:

Из полученного результата следует, что для случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

2.     Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени t0 =0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т  непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F(t) = P(T<t) определяет вероятность отказа за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т.е. вероятность противоположного события T>t, равна

R(t) = P(T>t) = 1 – F(t)                              (*)

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:

R(t) = P(T>t).

2.1. Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

Следовательно, в силу соотношения (*) функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

.

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

                                (**)

где - интенсивность отказов.

Как следует из определения функции надежности, эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t, если время безотказной работы имеет, показательное распределение .

2.2.         Характеристическое свойство показательного закона надежности

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов ).

Для доказательства свойства введем обозначения событий:

А – безотказная работа элемента на интервале (0, t0) длительностью t0; В – безотказная работа на интервале (t0, t0+t) длительностью t. Тогда АВ – безотказная работа на интервале (0, t0+ t) длительностью t0+ t.

Найдем вероятности этих событий по формуле (**)

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале (t0, t0+t) при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале (0, t0):

Полученная формула не содержит t0 , а содержит только t. Это и означает, что время работы на предшествующем интервале не сказывается на величине вероятности безотказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины последующего интервала, что и требовалось доказать. Полученный результат можно сформулировать несколько иначе. Сравнив вероятности

и , заключаем: условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Данное свойство применимо только к показательному закону распределения, поэтому если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по экспоненциальному закону. Например, при допущении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.  

Приведенное характеристическое свойство показательного распределения широко используется в марковских случайных процессах.

3.         Системы массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса.

На практике часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания. Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины парикмахерские и т.п.

Математический анализ работы системы массового обслуживания существенно упрощается, если процесс этой работы – марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S – счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент времени t0 счетчик показывает S0. Вероятность того, что в момент  t > t0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее соответствующее число рублей) S1, зависит от S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t0.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S – группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность того, что в момент t > t0 материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

Если провести параллели между марковским случайным процессом и характеристическим свойством показательного распределения, то можно увидеть весьма тесную связь. И можно сделать вывод что, характеристическое свойство показательного распределения играет немаловажную роль в теории массового обслуживания.

4.         Задачи с решениями

Задача 1.

Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. По условию математическое ожидание  откуда параметр   и по формулам плотности и функции распределения имеем:

.

Искомую вероятность найдем используя функцию распределения:

Осталось найти среднее квадратическое отклонение

дней.

Задача 2.

Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону (t – время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Решение. По условию постоянная интенсивность отказов Воспользуемся формулой  :

Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,14.

Задача 3.

Охотники, собравшиеся для охоты на волка, выстраиваются в цепь случайным образом так, что расстояние между двумя соседними охотниками D не зависит от других расстояний и распределено по показательному закону с параметром . Волк бежит перпендикулярно цепи. Любой охотник стреляет по волку только в случае, если волк пробегает от него не дальше чем на расстоянии R0, и, выстрелив, убивает его с вероятностью р. Определить вероятность того, что волк будет убит, если он не знает, где расположены охотники, и цепь достаточно длинна для того, чтобы волк с достоверностью не пробежал за пределами цепи.

Решение. Цепь охотников может рассматриваться как пуассоновская последовательность точек на оси Ох. Волк, бегущий по направлению, указанному стрелкой, обстреливается в случае, если в полосу шириной 2R0 , связанную с его траекторией, попадает хотя бы один охотник. Каждый охотник, если ему придется стрелять по волку, с вероятностью р оказывается «удачливым», т.е. убивает волка. Перейдем от «цепочки охотников» на оси Ох  к «цепочке удачливых охотников», имеющей плотность Волк будет убит в случае, если в отрезок длиной 2R0 , случайно брошенный на ось абсцисс, попадет хотя бы один «удачливый» охотник; вероятность этого: