Элементы линейной и векторной алгебры

Решение

Вычеркнув из этой матрицы вторую строку и выбрав первый и четвертый столбцы, получим минор

Ранг матрицы равен 2.

1.5. Обратная матрица

Пусть имеем матрицу А.

Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A-1 такая, что A-1A = A A-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A-1матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.  
1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0, то матрица A-1 существует.  
2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij (см. 1.3.) элемента aij исходной матрицы.  
3. Транспонируем матрицу В и получим BT. 

Транспонировать матрицу - это значит поменять строки и столбцы местами (первый столбец с первой строкой, второй столбец со второй строкой и т. д.).  
4. Найдем обратную матрицу

После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия.

Пример Найдем обратную матрицу для матрицы 

 

 

 

Решение

Вычисления произведем в соответствии с описанной схемой.  
1.   
2.   
3.   
4.   
5.

Обратная матрица найдена верно.

 

2.1. Общие сведения  о системах линейных уравнений

Система линейных уравнений имеет вид

Здесь x1, x2,...xm - неизвестные. Коэффициенты aij и свободные члены Ii- известные числа. Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.

Систему линейных уравнений (1), например, для трех уравнений с тремя неизвестными, можно записать так:

Если матрицу коэффициентов обозначить через А, столбец неизвестных через Х, столбец свободных членов через L, то система примет вид

Так может быть представлена любая система (1).

Решением системы называется любой упорядоченный набор чисел, при подстановке которых вместо неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система линейных уравнений может иметь: - единственное решение (система совместна и определена); - более одного решения (система совместна и неопределенна); - не иметь решений (система несовместна).

Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов А этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера - Капелли). Если к матрице коэффициентов добавить столбец свободных членов, то получится расширенная матрица системы

Итак, система (1) совместна тогда и только тогда, когда   Число r называется рангом системы (1).

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (r =m), то система является определенной (единственное решение).

Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система - неопределенная. В такой системе будет r базисных неизвестных и m-r свободных неизвестных. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система (1) в этом случае имеет бесчисленное множество решений.

Система может и не иметь решений (система несовместна) в случае 

Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы - указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т.е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность.

Например, однородная система линейных уравнений всегда совместна и имеет хотя бы одно решение x1 = x2 = ... = xm = 0. Это решение не всегда единственно.

2.2.1. Матричный  метод

Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная).

Из этих условий следует, что  и, следовательно, система совместна и определена.

Решение системы можно получить так: 

Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы

Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример Решить систему   матричным методом.

Решение

В соответствии с пунктом 1.5 найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

Поскольку Δ ≠ 0, то A-1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы 

Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Проверка: 

Система решена верно.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.

2.2.2. Метод Гаусса

Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:  
- перестановка местами двух уравнений;  
- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;  
- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

Пример 1. Решить систему  методом Гаусса.

Решение

Определитель системы не равен нулю (см. пример из 2.2.1). Поэтому система совместна и определена (решение единственно). Выполним преобразования.

Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на -2 в первом случае и на -1 - во втором

Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на -2 и прибавим к третьему. Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида

Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем x3= 3 и, подставляя его во второе уравнение, находим x2= 2. Поставив найденные неизвестные в первое уравнение, получим x1= 1. Таким образом, получим решение системы: x1= 1, x2= 2, x3= 3.

Проверка:   Получили три тождества.

Пример 2. Решить систему 

Решение

В ней   для исключения первого неизвестного во второй и третьей строках (уравнениях) умножим первую строку расширенной матрицы на -2 и -3 и сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно.

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

Ее третье уравнение получено в результате сложения двух последних уравнений (строк).

Найдя   , мы приходим к выводу, что система несовместна. Об этом же говорит и противоречие в третьем уравнении системы.

Пример 2. Решить систему 

Решение

В ней 

Умножим первую строку расширенной матрицы на 2 и -3, сложим полученные результаты со второй и третьей строками соответственно и получим

Следовательно, мы пришли к эквивалентной системе

которая может быть представлена в виде

поскольку два последних уравнения - истинные равенства.

Поскольку   постольку система совместна, но имеет множество решений. Общее решение системы имеет вид

Множество частных решений системы будет трехмерным, так как зависит от трех параметров. Выбрав t = 2, v = 1, s = -3, получим частное решение системы x1 = - 6, x2 = 2, x3 = 1, x4= -3.

 

3.1. Основные понятия и определения

Направленный отрезок или, что то же самое, упорядоченную пару точек будем называть вектором. Обозначается вектор одной буквой   или  . Векторы характеризуются длиной   и направлением. Мы рассматриваем свободные векторы, т. е. такие, которые без изменения длины и направления могут быть перенесены в любую точку пространства.

Ортом вектора   называется вектор  , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор  .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Два вектора считаются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.

Пусть даны два вектора. Параллельным переносом приведем их к общему началу. Наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с другим, называется углом между векторами.

Рис.1

 

 

3.2. Трехмерное пространство

Три вектора ,  , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R3 называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Если   - базис в R3, то любой другой вектор, например  , единственным образом разлагается по этому базису

где числа da, db, dc находятся единственным образом и называются координатами вектора   в базисе 

Базис   называется прямоугольным (ортогональным), если векторы   попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

В пространстве R3 обычно используют прямоугольную декартову систему координат Оxyz, где любая точка М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z (аппликату), обозначается М(x, y, z).

Свободный вектор, например  , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Здесь xd, yd, zd - проекции вектора   на соответствующие оси координат (координаты вектора),  
- орты этих осей.

Пишут 

Длина вектора определяется по формуле

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:

Координаты вектора будут равны

Подставив эти выражения в формулу вычисления длины вектора, установим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

 

3.3. Произведение вектора на скаляр

Произведением вектора   на действительное число m называется вектор , который удовлетворяет условиям:

Следовательно, если векторы   и   коллинеарные, то

 

3.4. Сложение и вычитание векторов

 

Суммой двух векторов   и   называется вектор  , направленный из начала вектора  в конец вектора   при условии, что начало  совпадет с концом вектора  . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть

Покажем, что

Из рисунка 3 видно, что    
 
 

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.