Контрольная работа по «Алгебре и геометрии»

МАТИ «РГТУ» им. Циолковского

 

 

Кафедра

«Электроника  и информатика»

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине

«Алгебра и  геометрия»

 

 

 

 

 

	Выполнил:
	Преподаватель:

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2012

Вариант № 9

 

1.1	Найти обратную матрицу……………………………………	3
1.2	Установить свойство ……………………	8
2.	Исследовать систему неоднородных линейных уравнений…………………………………………………......	12
3.1	Найти площадь треугольника:………………………………	17
3.2	С помощью скалярного произведения доказать, что вектор полученный от векторного произведения, перпендикулярен  векторам и ………………………...	18
3.3	Определить компланарность векторов , какую тройку векторов образуют (правая, левая)…………………	19
4.	Задана прямая L и точка М .Требуется :
4.1	Вычислить  расстояние q(M,L) от точки до прямой……….	20
4.2	Найти уравнение прямой L’, проходящей через точку М, и перпендикулярно заданной прямой L…………………….	21
4.3	Найти уравнение прямой L’’, проходящей через точку М, и параллельно заданной прямой L………………………….	22
4.4	Найти косинус угла (L1,L2) и точкой пересечения прямых.	23
5.1	Найти уравнение плоскости  проходящей через точки M1 и M2 параллельную вектору …………………………………	25
5.2	Найти косинус угла между  плоскостями ……...……	26

 

 

 

 

1.1 Найти обратную матрицу .

 

А=

 

 

 

 

 

Обратная матрица —  такая матрица , при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E. Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Если количество строк  матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Вырожденной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю.

 

Нам дана квадратная матрица А, количество строк (четыре) равно количеству столбцов (четыре).

 

Найдем определитель матрицы А, для этого с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду, после этого определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

 

Элементарные  преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, например: перестановка местами любых двух строк матрицы, умножение любой строки матрицы на константу и прибавление (вычитание) этой строки к любой другой.

 

Треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.

 

Умножим 1-ю строку на (-2) и вычтем полученную строку из строки 2

 

А=

 

 

 

 

Умножим 1-ю строку на (3) и вычтем полученную строку из строки 3

 

А=

 

 

 

 

Умножим 1-ю строку на (13) и вычтем полученную строку из строки 4

 

А=

 

 

 

Умножим 2-ю строку на (-2) и вычтем полученную строку из строки 3

А=

 

 

 

Умножим 2-ю строку на ( - ) и вычтем полученную строку из строки 4

А=

 

 

 

 

Умножим 3-ю строку на (2) и вычтем полученную строку из строки 4

А=

 

 

 

Матрица приведена к треугольному виду, теперь перемножим все элементы главной диагонали и найдем определитель матрицы А.

 

Определитель равен 62. Он не равен нулю, значит наша матрица не вырожденная, т.е. мы можем найти обратную матрицу .

 

Следующий шаг – это  составление присоединенной матрицы, состоящей из алгебраических дополнений.

Алгебраическим  дополнением элемента матрицы А называется число:

,

где - дополнительный минор матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

 

Алгебраическое дополнение для элемента матрицы А:

 

 

Здесь определитель вычисляется по правилу треугольника:

 

Перемножаем элементы главной  диагонали, затем элементы, лежащие  на параллелях к этой диагонали, и  элементы из противолежащего угла. Далее сложим полученные элементы и  вычтем элементы, полученные аналогичным  путем, но относительно побочной диагонали.

 

 

 

 

Необходимо взять алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислив все алгебраические дополнения, составим присоединенную матрицу , где алгебраическое дополнение соответствует элементу присоединенной матрицы, а индексы i и j у него обозначают строку и столбец в присоединенной матрице:

 

 

 

=

 

 

 

 

Теперь нам надо транспонировать  полученную присоединенную матрицу :

Транспонировать матрицу  – значит заменить строки столбцами  и наоборот.

 

 

 

Чтобы получить обратную матрицу , нужно умножить полученную транспонированную присоединенную матрицу , на единицу деленную на определитель det A.

 

 

 

Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить каждый элемент  матрицы на это число:

 

 

 

 

Мы получили обратную матрицу .

 

 

1.2  Установить свойство

Умножим обратную матрицу на исходную матрицу А.

Умножение матриц AB( или еще обозначается как AxB), есть процесс получение матрицы С, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в  матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица В имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученная матрица является единичной матрицей Е.

Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю.

 

 

 

Умножим исходную матрицу А на обратную матрицу .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

Полученная матрица, так  же является единичной матрицей Е.

 

Следовательно:

 

 

2.Исследовать систему неоднородных линейных уравнений

 

 

 

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

 

Исследуем эту систему:

Система называется совместность, если имеет хотя бы одно решение.

Для совместности системы  неоднородных линейных уравнений необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы  этой системы равнялся рангу ее расширенной  матрицы (теорема Кронкера-Капелли).

Проверим систему на совместность, определим ранг матрицы системы  и ранг расширенной матрицы.

Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля (обозначается как rang A, r).

Минор – это определитель полученный вычёркиванием i -й строки и    j -го столбца.

Для определения ранга  матрицы воспользуемся методом  окаймляющих миноров. Он заключается  в поиске ненулевого минора матрицы  наивысшего порядка, этот наивысший  порядок минора и будет рангом матрицы.

 

Составим матрицу системы, в которой выделим первый минор:

 

 

 

 

Далее вычислим значение минора:

 

 

Минор не нулевой, значит ранг матрицы больше или равен одному.

Далее выделим минор более  высокого порядка:

 

 

И вычислим его значение:

 

 

 

Этот минор тоже не нулевой, ранг матрицы равен двум (2), т.к. минор  более высокого порядка взять  невозможно (не позволяет размер матрицы).

 

Составим расширенную  матрицу:

 

 

Как мы можем видеть в этой расширенной матрице мы можем взять тот же минор второго порядка, что и в предыдущем случае, и большего порядка минор взять невозможно. Следовательно, ранг расширенной матрицы T равен тоже двум (2).

 

Ранг расширенной матрицы  равен рангу матрицы системы, но меньше числа неизвестных (в нашей  системе уравнений, четыре неизвестных ) следовательно, система совместна и имеет бесконечно много решений (т.к. ранг меньше числа неизвестных, из Теоремы о структуре общего решения).

 

Решим систему уравнений  методом Гаусса:

 

Процесс решения системы  уравнений методом Гаусса, состоит  из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных. На втором этапе решения мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.

Запишем исходную систему:

 

 

 

Исключим переменную из всех уравнений, за исключением первого. Поменяем местами уравнения 1 и 2 (порядок уравнений в системе не имеет значения).

 

 

 

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 2.

 

 

 

Прибавим получившееся уравнение  к уравнению 2 (уравнение 1 не изменится в исходной системе).

 

 

 

Прибавим уравнение 1 к  уравнению 3.

 

 

 

Исключим переменную из последнего уравнения. Умножим коэффициенты уравнения 3 на (-1) и прибавим получившиеся уравнение к уравнению 2.

 

 

 

Умножим коэффициенты уравнения 2 на (-2), прибавим получившееся уравнение к уравнению 3 (уравнение 2 не изменится в исходной системе).

 

 

 

Второй этап решения:

 

Рассмотрим уравнение 2 последней  получившейся системы:

 

 

 

Из данного уравнения, найдем значение переменной .

 

 

 

 

Рассмотрим уравнение  1 последней получившейся системы:

 

 

 

Из данного уравнения, найдем значение переменной .

 

 

 

 

Подставим, ранее найденное, значение переменной .

 

 

 

 

Свободные переменные:

 

Выбрав для свободной  переменной произвольное значение, можно получить частное решение данной системы, в данном случае, система имеет бесконечное множество решений.

 

Ответ:  

 

Свободные переменные:

 

1. Найти площадь треугольника.