Контрольная работа по "Математическому моделированию"

Для каждой переменной следует определить диапазон и характер изменения (непрерывность или дискретность). Ограничения на диапазон изменений  могут носить принципиальный или  технический характер. Принципиальные ограничения факторов не могут быть нарушены при любых обстоятельствах. Эти ограничения задаются исходя из физических представлений (например, емкость устройств памяти всегда имеет положительное значение). Второй тип ограничений связан с технико-экономическими соображениями, например, с наличием соответствующего аппаратно-программного комплекса, принятой технологией обработки информации.

Выделение области  изменения факторов является не формальной задачей, а основывается на опыте  исследователя. В рамках области  допустимых значений факторов необходимо выделить начальную область планирования эксперимента. Этот выбор включает определение основного (нулевого) уровня как исходной точки построения плана и интервалов варьирования. Интервал варьирования задает относительно основного уровня значения фактора, при которых будут производиться эксперименты. Обычно интервалы являются симметричными относительно центрального значения. Интервал варьирования должен отвечать двум ограничениям: его применение не должно приводить к выходу фактора за пределы области допустимых значений; он должен быть больше погрешности задания значений фактора (в противном случае уровни фактора станут не различимыми). В пределах этих ограничений выбор конкретного значения является неформальной процедурой, учитывающей ориентировочную информацию о кривизне поверхности функции отклика.

Фактор должен быть управляемым, т.е. экспериментатор  может поддерживать его постоянное значение в течение всего опыта. Для фактора необходимо указать  его конкретные значения и  средства контроля. Сам фактор должен быть первичным, ибо сложно управлять фактором, который в свою очередь является функцией других факторов. Для каждого фактора следует указать точность его задания и поддержания в ходе эксперимента.

Одновременное изменение факторов предполагает их совместимость, что означает осуществимость и безопасность всех их сочетаний. Необходимо также обеспечить независимость изменения каждого фактора, что означает возможность установления любого значения фактора вне связи со значениями других факторов.

  Цель исследования, требуемая точность получаемых результатов, имеющиеся ресурсы ограничивают множество допустимых моделей  функции отклика (с усложнением модели и повышением точности оценки показателей резко возрастает объем необходимых опытов) и соответственно предопределяют план проведения экспериментов.

 Общая постановка задачи оптимизации в стандартной форме.

Рассматривается max f(x), x=(x₁, …, x_n), при следующих ограничениях:

1) g_i(x)≤0, i=1, …, m;

2) x_k≥0, kÎS,

где S – некоторое подмножество индексов (1, …, n), 

f(x) – целевая функция, 

x – n-мерный вектор переменных( факторов) задачи.

 Ограничения (1) – функциональные ограничения, ограничения (2) – прямые. Функции f, g_i – непрерывные.

 Удобно иметь все неравенства одного знака. Если же встретятся неравенства вида a_i(x) ≥0, всегда можно, обозначив g_i(x)= – a_i(x), свести систему к стандартной форме. Приведенный выше выбор знака для задачи на максимум (и обратные знаки в задаче на минимум) естественен во многих экономических задачах и задачах линейного программирования.

 Задача на оптимум не всегда имеет решение. Например, задача max (х₁+х₂) при условии, что х₁–х₂≤0, имеет неограниченное допустимое множество и не имеет решений: для любого Х можно найти другой допустимый вектор, дающий большее значение целевой функции. Тем не менее, можно выделить широкий класс задач, для которых гарантируется существование оптимума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Методы одномерной  оптимизации ( дихотомии, золотого сечения ) .

 

4.1. Метод дихотомии.

 

Простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации – метод дихотомии. Этот метод является методом прямого поиска.

Метод дихотомии используется для  нахождения безусловного минимума унимодальных функций f(x).

Функция f(x) называется унимодальной на отрезке [a,b], если

имеет единственную точку минимума x* на этом отрезке

f(x) монотонно убывает на [a,x*], возрастает  на [x*,b].

Свойства унимодальных функций.

Пусть f(x) унимодальна на [a,b], x,z принадлежат  отрезку, x<z, тогда:

1) если f(x)<f(z), то x* принадлежит [a,z];

2) если f(x)>f(z), то x* принадлежит [x,b];

3) если f(x)=f(z), то x* принадлежит [x,z];

Алгоритм.

Задаются: отрезок локализации  I₀ = [a₀,b₀], ε > 0 – отступ от нуля, l > 0 – точность, ε < l (отрезок локализации можно найти алгоритмом Свена);

Количество итераций k = 0;

Вычисляются: x_k=(a_k+b_k-ε)/2, f(x_k)

   y_k=(a_k+b_k+ε)/2, f(y_k)

Сравниваются f(x_k) и f(y_k)

4.1) если f(x_k) <f(y_k) , то a_k+1 = a_k

   b_k+1 = y_k

4.2) если f(x_k) > f(y_k) , то a_k+1 = x_k

    b_k+1 = b_k

   I_k+1= |a_k+1 — b_k+1| <= l

5.1) если выполняется, то x*=(a_k+1 + b_k+1)/2

5.2) если нет k = k+1 и переход к 3)

2. Метод "золотого сечения"

 

Метод дихотомии требует на каждой итерации двух вычислений значений функции: в точках х_i  и у_i . Имеются два схожих по идее, но более экономных метода, в которых каждая итерация требует только одного нового вычисления значения функции. Если основные вычислительные усилия на каждой итерации приходятся именно на вычисление значений функции (так, как правило, и бывает), то это приводит к ускорению вычислений примерно вдвое по сравнению с методом дихотомии .

   Один из методов называется метод золотого сечения. В этом методе длины последовательных отрезков  должны давать одно и то же число :

                                                                     Δ_{i -1}

                                                              Δ_i+1        Δ_i

Такой вид деления отрезка ( " целое к большей части = большая  часть  меньшей " ) называется "золотым  сечением", отсюда и название метода. При этом

Δ_{i -1} = Δ_i + Δ_{i +1} , откуда можно найти .

Таким образом, на первом шаге на отрезке  I₀ вычисляются значения в двух точках

l₀ и r₀, расположенных симметрично на расстоянии Δ₀( r – 1 ) от концов отрезка а₀ и b₀ и делящих отрезок на части, составляющие "золотое сечение". Сравнивая точно так же, как в методе дихотомии, значения в этих точках, выбираем в качестве I₁ либо [a,r₀], либо [l₀,b₀]. Экономия по сравнению с методом почти половинного деления получается на всех остальных шагах, поскольку если процесс повторить на отрезке I_i при i>1,  то одной из точек деления оказывается ранее найденная точка: 

l_i = r_i-1   или r_i = l_i-1 , так что одно из двух значений функции найдено на предыдущей итерации.

 

 

 

5. Содержание основной задачи линейного программирования, состав модели,

её особенности.

 

Любую задачу линейного программирования можно свести к стандартной форме, так называемой «основной задаче линейного программирования» (ОЗЛП), которая формируется так: найти неотрицательные значения переменные x₁, x₂, …, x_n, которые удовлетворяли бы условиям – равенствам: 

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … +a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … +a_2n x_n = b₂,            (5.1)

………………………………..

a_m1 x₁ +a_m2 x₂ + … +a_mn x_n = b_m.

и обращали бы в максимум линейную функцию этих переменных:

        (5.2)

Случай, когда L надо обратить не в  максимум, а в минимум, легко сводится к простому: изменить знак L на обратный (максимизировать не L, а L`=-L). Кроме  того, от любых условий – неравенств можно перейти к условиям – равенствам ценой введения некоторых новых «дополнительных» переменных. Пусть требуется найти неотрицательные значения переменных x₁,x₂,x₃, удовлетворяющие ограничениям – неравенствам

     

                                             (5.3) 

и обращающие в максимум линейную функцию от этих переменных:

             (5.4)

Начнём с того, что приведём условия (5.3) к стандартной форме, так, чтобы знак неравенства был =, а справа стоял нуль. Получим:

            

                     (5.5)

 А теперь обозначим левые части неравенств (5.5) соответственно через y₁ и y₂:

                                   (5.6)

 

Из условий (5.5) и (5.6) видно, что новые переменные y₁, y₂ также должны быть неотрицательными.

Теперь  стоит задача найти неотрицательные значения переменных x₁,x₂,x₃,y₁,y₂ такие, чтобы они удовлетворяли условиям – равенствам (5.6) и обращали в максимум линейную функцию этих переменных (то, что в L не входит дополнительные переменные y₁, y₂, неважно: можно считать, что они входят, но с нулевыми коэффициентами). Перед нами – основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Переход к ней от первоначальной задачи с ограничениями – неравенствами (5.3) «куплен» ценой увеличения числа переменных на два (число неравенств). 

   ДОПУСТИМЫМ решением ОЗЛП называется всякая совокупность неотрицательных значений x₁, x², …, x_n, удовлетворяющую условиям (5.1.) ,

 ОПТИМАЛЬНЫМ – то из допустимых решений, которое обращает в максимум функцию (5.2.).

Требуется найти оптимальное решение.  Всегда ли эта задача имеет решение? Нет, не всегда.

1. Может оказаться, что уравнения (5.1.) вообще несовместимы (противоречат друг другу).

2. Может оказаться и так, что они совместимы, но не в области неотрицательных решений, т.е. не существует ни одной совокупности чисел x₁≥0, x₂≥0, …, x_n≥0, удовлетворяющей условиям (5.1.).

3. Наконец, может быть и так, что допустимые решения ОЗЛП существуют, но среди них нет оптимального: функция L в области допустимых решений не ограничена сверху.

 Если решение ОЗЛП существует, то его для его решения используется  стандартная

процедура – симплекс–метод.

 

 

 

Литература :

 

1. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2002.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. – М.: Радио и связь, 1983.

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. – М.: Наука, 1971.

4. Ходасевич Г.Б. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ. Часть 1. Обработка одномерных данных. – СПб.: СПбГУТ, 2002.

5. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации. -- М.: Наука, 1978.

6. ПижуринА.А. , Розенблит М.С. Основы моделирования и оптимизации процессов  

   деревообработки. М.: Лесная  промышленность, 1988 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 2  .

Задача №1.

 

Построить математическую модель в  виде линейного уравнения регрессии

у = b₀ + b₁x .

 Результаты эксперимента

N опыта	1	2	3	4	5
xi	2,9	5,8	8,7	11,6	14,5
yi	6,7	10,4	15,1	14,9	17,4

 

 

 

 

Решение :

 

Составим расчётную таблицу .

xi	2,9	5,8	8,7	11,6	14,5		∑xi =	43,5
yi	6,7	10,4	15,1	14,9	17,4		∑yi =	64,5
xi2	8,41	33,64	75,69	134,56	210,25		∑xi2 =	462,55
xiyi	19,43	60,32	131,37	172,84	252,3		∑xiyi =	636,26

 

Коэффициенты b₀ и b₁ находим по формулам

  .

b1 =

0,893103

b0 =

5,13

 

Уравнение прямой линии регрессии  У на Х имеет вид

у = 0,893х + 5,13 .

Дисперсия воспроизводимости

S²{y} = ,

дисперсия адекватности

,

где 

     – среднее значение функции отклика,

     =  b₁x_i + b₀  – значение отклика в этой же точке, предсказанное на модели ,

     f = N – m   – число степеней свободы  дисперсии адекватности,

    – дисперсия адекватности ,

     N – количество опытов ,

     m – количество оцениваемых параметров ( здесь m = 2, т.к. оцениваются параметры

           b₀ и b₁ ) .

Вычисляем.

b0 + b1xi	7,7197	10,3094	12,8991	15,4888	18,0785	=	12,9
yi2	38,44	6,25	4,84	4	20,25	S2{y} =	73,78
(b0 + b1xi))2	26,83551	6,711208	8,1E-07	6,701885	26,81686	=	22.35