Контрольная работа по "Математическому моделированию"

 

Для проверки однородности оценок дисперсии воспроизводимости среднего значения  функции отклика вычислим значение критерия Фишера

F_расч = ;  F_расч = .

По таблице в Приложении Методических указаний находим табличное значение

F_табл = 6,59 .

Т.к. F_расч < F_табл , то данная модель адекватна .

График прямой линии регрессии  У на Х приведён на рис. ниже.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

                                     Fitting curve: 5.13+.8931*x

                                     Least squares error: 2.588

                                     Maximum error: 2.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 2 .

 Построить математическую модель  в виде уравнения регрессии  второго порядка

на основе эксперимента Бокса, m = 3 .

Результаты эксперимента :

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7
у	330,3	207,2	269,8	127,5	309,0	159,3	232,6
№ опыта	8	9	10	11	12	13	14
у	108,9	295,7	164,0	232,9	165,3	249,2	183,6

 

Решение :

Определяем значения коэффициентов  уравнения регрессии 

.

по формулам (2.1) – (2.4) Методических указаний

,

,

,

,

где  i ≠ j = 1, 2, 3 – индексы независимой переменной,

       n – индекс выходного параметра у.

Доля дисперсии функции отклика, обусловленная линейными членами

уравнения регрессии

,

m = 3 = f^* – число степеней свободы, N = 14 – количество опытов .

 

Составим расчётную таблицу.

X1n	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1	0	0	0	0	b0=	431,7
X2n	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1	0	0	1	-1	0	0
X3n	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	1	-1		1310377
X1n^2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0		17,34
X2n^2	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0		658074
X3n^2	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	S2^2=	328078
X1n^2 *Yn	330,3	207,2	269,8	127,5	309	159,3	232,6	108,9	295,7	164	0	0	0	0	b11=	16,2125
X2n^2 *Yn	330,3	207,2	269,8	127,5	309	159,3	232,6	108,9	0	0	232,9	165,3	0	0	b22=	-354,008
X3n^2 *Yn	330,3	207,2	269,8	127,5	309	159,3	232,6	108,9	0	0	0	0	249,2	183,6	b33=	216,4
X1nX2nYn	330,3	-207,2	-269,8	127,5	309	-159,3	-232,6	108,9	0	0	0	0	0	0	b12=	0,85
X1nX3nYn	330,3	-207,2	269,8	-127,5	-309	159,3	-232,6	108,9	0	0	0	0	0	0	b13	0,85
											Fpac=	0,28522
X2nX3nYn	330,3	207,2	-269,8	-127,5	-309	-159,3	232,6	108,9							b23=	0,85
Yмодели	432,4	294,93	362,11	228,01	390,9	256,81	323,99	193,297	160,96	26,867	111,16	44,24	313,164	275,04	S1^2	19928,5
(Yм-Уср)2	46496	6104,317	21115,03	125,667	30314,34	1600,81	11489,72	552,7141	3118,091	36077,16	11160,31	29777,77	9284,792	3391,6213	Socm2=	17550,72
Yn	330,3	207,2	269,8	127,5	309	159,3	232,6	108,9	295,7	164	232,9	165,3	249,2	183,6	Ycp	216,8071
(Yn -Ycp)^2	12880	92,29719	2808,243	7975,766	8499,523	3307,071	249,4143	11643,95	6224,083	2788,594	258,9801	2652,986	1049,297	1102,7143	S2(y)	61533,55
															b0=	431,7125
X1nYn	330,3	-207,2	269,8	-127,5	309	-159,3	232,6	-108,9	295,7	-164	0	0	0	0	b1=	67,05
X2nYn	33,03	20,72	-26,98	-12,75	30,9	15,93	-23,26	-10,89	0	0	23,29	-16,53	0	0	b2=	33,46
X3nYn	33,03	20,72	26,98	12,75	-30,9	-15,93	-23,26	-10,89	0	0	0	0	24,92	-18,36	b3=	19,06

 

как видим F_рас < F_табл = 2.59, значит модель адекватна.

Задача 3.

Составить математическую модель раскроя  древесностружечных плит (ДСтП) на мебельные заготовки. Запас плит составляет 5000 шт.

Формат  плит,  мм×мм	Годовая програм ма, шт	Размеры заготовок и их количество
		1	2	3	4	5
2750× 1750	3000

 

Решение :

 Составим карты раскроя ДСтП  на заготовки соответствующего  формата ( рис. 3.1 ).

 

Вариант раскроя 1 , остаток r₁ = 0.583 м² .  Вариант раскроя 2 , остаток r₂ = 0.522 м² .

                                                                                          4

             1                                  4

                                                 4

             1                                 

                                                 4

              1                                  4

 

 

Вариант раскроя 3 , остаток r₃ = 0.582 м² .  

                                            

                1                           4

                                             4

                1                          

                                             4

                1                           4                                   

 

Вариант раскроя 4 , остаток r₄ = 0.552 м² .    Вариант раскроя 5, остаток r₅ = 0.583 м² .                                                                 

              2              3        5            2

              2                                      2

              2              3         5      5        5

              2

              2              3         5         5

 

 

По условию задачи на одно изделие  нужно заготовок :

– вида 1 – 2 шт.    – вида 2 – 3 шт.  – вида 3 – 5 шт.   – вида 4 – 2 шт.

– вида 5 – 2 шт.

Значит для годовой программы  3000 шт. нужно заготовок :

– вида 1 – n₁ = 2*3000 = 6000 шт.  – вида 2 – n₂ = 3*3000 = 9000 шт.

– вида 3 – n₃ = 5*3000 = 15000 шт. – вида 4 – n₄ = 2*3000 = 6000 шт.

– вида 5 – n₅ = 2*3000 = 6000 шт.

Составим таблицу .

Номера заготовок	Варианты раскроя – к-во заготовок при раскрое
	1	2	3	4	5
1	3	-	4	-	2
2	-	3	-	7	7
3	-	10	-	3	6
4	4		4	-	-
5	3	-	3	6	-
остатки	r1	r2	r3	r4	r5
к–во листов	х1	х2	х3	х4	х5

Итак задача состоит в том, что  нужно разрезать x_i листов по варианту номер i

( i = 1,2,3,4,5 ) таким образом, чтобы :

– выполнить годовую программу, т.е. получить не меньше заготовок каждого из 5 видов, чем требуется для изготовления 3000 изделий

   3х₁ + 4х₃ +2x₂ = 6000

   3х₂ + 7х₅ + 7х₆ ≥ 9000

   10х₂ + 3х₅ +3х₆ ≥ 15000

   4х₁ + 4х₃ ≥ 6000

   3х₁ + 3х₃ + 5х₄ ≥ 6000

– количество разрезанных листов не должно превышать запаса плит

   ∑х_i  ≤ 5000

– минимизировать количество отходов

   L = ∑r_ix_i ,

т.е.  искомая модель имеет вид :

   L = ∑r_ix_i →  min ,

3х₁ + 4х₃ +2x₂ = 6000

   3х₂ + 7х₅ + 7х₆ ≥ 9000

   10х₂ + 3х₅ +3х₆ ≥ 15000

   4х₁ + 4х₃ ≥ 6000

   3х₁ + 3х₃ + 5х₄ ≥ 6000

   ∑х_i  ≤ 5000 , х_i ≥ 0 , i = 1,2,3,4,5 . 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

 Решить графически задачу  линейного программирования

              L = – 4x₁ – 5x₂ → max ,                                                         (1)

          2x₁ + 5x₂  ≤ 5

          3x₁ +  x₂  ≤ 4 ,      x₁ ≥ 0 , x₂ ≥ 0 .                                                (2)

Решение :

Строим в системе координат  Х₁ОХ₂ ( рис. )  графики функций ( прямые линии )

          2x₁ + 5x₂  =  5 ,   3x₁ +  x₂  = 4 , 

соответствующие ограничениям (2) и  выбираем область I первого квадранта ( где х₁ и х₂ неотрицательны ), лежащую ниже обоих прямых . Полученная область выделена на рис. зелёным цветом – многоугольник решений.

 Построим теперь график ( розовая  линия ) целевой функции для  произвольного значения L = –10 . Возрастанию L соответствует перемещение этой прямой вниз параллельно себе. Из рисунка видно, что величина L достигает максимума в т.О многоугольника решений , где х₁ = х₂ = 0, т .е.

данная задача линейного программирования имеет единственное решение

х₁ = 0 , х₂ = 0.

 Правильность решения следует  также из того, что для положительных   x₁ и   x₂

выражение  для целевой функции   – 4x₁ – 5x₂ отрицательно.

 

 

 

                         3x₁ +  x₂  = 4

 

 

                                                   – 4x₁ – 5x₂ = – 10

                                                                                                                                        

                                                                       2x₁ + 5x₂  =  5 ,  

 

Задача № 5.

 Методом множителей Лагранжа  найти оптимальное соотношение  размеров пустотелого сосуда, имеющего  замкнутый объём.

Решение :

 Критерий оптимальности в  данной задаче – минимум площади  поверхности сосуда ( минимум материала  для его изготовления ).

 Найдём поверхность и объём сосуда.

                                        Х₂                                       

                                                                           

                                                                               

                                                              Х₃                

                                                                                

                                                                               

   Х₁                                                         

                                                                                

                                                                             

               

 

 

 

S = πx₁x₃ + 2*π( x₁² / 4 – x₂² / 4 ) + 4π( x₂² / 4 ) = (π/12)( 0) ,

V = π( x₁² / 4 )x₃ – (4/3)π( x₂ / 2 )³ = (π/12)( 3x₁² x₃  – 4x₂³ .

Обобщённая целевая функция

L = 12x₁x₃ +6 x₁² +6 x₂² + λ( V – 3x₁² x₃  – 4x₂³ ) → min .

Находим

,  ,  .

Приравнивая к нулю частные производные и исключая λ, получаем систему уравнений

 

 

откуда находим

х₁ = х₃ = 4х₂ ,

т.е. минимальный объём данного  сосуда достигается при равных высоте и диаметре и

размерам выемки в 4  раза меньших этих размеров.