Контрольная работа по "Математике

^{Задача 1.}

^{Сколькими способами  могут шесть человек стать в очередь к кассе в кинотеатре?}

^{Решение задачи:}

^{Существует 6 мест, которые должны занять 6 человек. На первое место может стать любой из 6 человек, т.е. способов занять первое место - 6. После того, как один человек стал на первое место, осталось 5 мест и 5 человек, которые могут быть на них размещены, т.е. способов занять второе место - 5. Аналогично для третьего, четвертого и т.д. места. Используя принцип умножения, получаем произведение – 6x5x4x3x2x1. Такое произведение обозначается как 6! и называется перестановкой P_6.}

^{Ответ: P_{6 =} 6!}

^{Задача 2.}

^{Позывные радиостанции должны начинаться с  буквы W.}

^{Скольким радиостанциям  можно присвоить  различные позывные, если позывные состоят  из трех букв, причем эти буквы могут повторяться?}

^{Решение задачи:}

^{В современном  латинском алфавите 26 букв. На первом месте  всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место. На оставшиеся два места может  претендовать любая  из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1 = 262.}

^{Задача 3.}

^{В автомашине 7 мест. Сколькими способами  семь человек могут  усесться в эту  машину, если занять место водителя могут  только четверо из них?}

^{Решение задачи:}

^{Итак, на место  водителя можно посадить только одного из четырех человек, т.е. существуют 4 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение: 4 = 4 6! = 4 P₆.}

^{Ответ: 4 P₆ = 4 6!.}

^{Задача 4.}

^{Алфавит некоторого языка содержит 26 букв. Сколько существует трехбуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если: 1) буквы в словах не повторяются? 2)буквы в словах могут повторяться?}

^{Решение задачи:}

^{Существует три места, на которые нужно разместить 26 букв.}

^{1. Буквы не  должны повторяться.  Используя принцип  умножения, получаем  произведение: 26x25x24. Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. В комбинаторике используют для таких произведений формулу размещений. Чтобы получить формулу размещений, умножим это произведение на единицу, которую представим следующим образом: 1=(23!/23!) 26x25x24x1 = 26x25x24x23!/23! = 26x25x24x23!/23! = 26/23! = 26!/(26-3)!= А 263 - формула для размещений.}

^{2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: 26x26x26= 26 3 = Ã 263 - формула для размещений с повторениями.}

^{Ответ: А 263; Ã 263}

^{Задача 5.}

^{Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых  содержит не менее  трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?}

^{Решение задачи:}

^{Необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных  чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных  чисел - 5 4 3 = А , четырехзначных - 5 4 3 2 = А , пятизначных - 5 4 3 2 1 = А . Используем принцип сложения: А + А + А = 60 + 120 + 120 = 300.}

^{Ответ: 300.}

^{Задача 6.}

^{Сколько слов можно  образовать из букв слова мармелад, если слова должны состоять:}

^{(а) из восьми букв, (б) из семи букв, (в) из трех букв?}

^{Решение задачи:}

^{В слове мармелад 8 букв алфавита.}

^{(а) Всевозможные  перестановки 8 букв  по восьми местам: А = =P₈.}

^{(б) Размещения 8 букв по 7 местам: А .}

^{(в) Размещения 8 букв по 3 местам: А .}

^{Ответ: P₈, А , А .}

 ^{Задача 7.}

^{Сколькими способами  можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?}

^{Решение задачи:}

 ^{Книги, которые  должны стоять  рядом, считаем  за одну книгу.  Тогда нужно расставить 6 книг по шести  местам. Применяя  формулу перестановок, получаем: P₆ = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P₂), то получаем окончательно следующее произведение: P₂ P₆ =2 6! = 1440.}

^{Способов переставить 7 книг существует P₇= 7!. Из них - 2 6! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! - 2 6!.}

^{Ответ: 1440; 7! - 2 6!.}

^{Задача 8.} 

^{Сколькими способами  из десяти человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?}

^{Решение задачи:}

^{Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания  элементов, т.к. здесь  не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:}

^{С 105 = 10!/ (10-5)!x5! =10!/5!x5! =10x9x8x7x6x5!/5!x5! =10x9x8x7x6/ 1x2x3x4x5=256.}

^{Ответ: 256.}

^{Задача 9.}

^{Сколькими способами  можно отобрать несколько  фруктов из пяти яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)}

^{Решение задачи:}

^{Т.к. фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т.д., т.е. всего пять способов выбрать несколько яблок (несколько - это не менее одного). Необходимо также прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 6 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора фруктов: 6x5x10. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение: 6x5x10-1 = 299.}

^{Ответ: 299.}

 

 

 

^{Задача 10.}

^{Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2) Сколько среди  них таких, которые  не содержат буквы  р? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквы с и  оканчиваются буквой р?}

^{Решение задачи:}

1.  Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений: А .

2.  Необходимо исключить букву р из рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву: А .

3.  На первое место поставить букву с можно только одним способом. На последнее место поставить букву р можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам: А .

^{Ответ: 360, 120, 12.}

^{Задача 11.}

^{Сколько различных  перестановок можно  образовать изо всех букв слова перестановка? Сколько из них  начинается с буквы  п и оканчивается буквой а?}

^{Решение задачи:}

^{В слове  перестановка 12 букв, из них повторяются 2 буквы е и две буквы а. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы P₁₂. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы е или а меняются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями: = .}

^{Чтобы посчитать  количество перестановок, начинающихся на букву  п и оканчивающихся на букву а, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буква е. Применяем формулу для перестановок с повторениями:}

 

^{= .}

^{Ответ: , .}