Контрольная работа по "Математике"

С помощью  этого уравнения можно исключить из оставшихся уравнений , для чего достаточно подставить во второе, третье и в четвертое уравнение системы. Таким же путем из уравнений 2,3,4 исключаем , затем . И мы придем к системе

Из этих уравнений  последовательно находятся значения неизвестных 

Матрица коэффициентов системы А	Столбец свободных членов
3,05   2,64   2,23	67,17
4,14  3,61   3,14	91,43
5,63  5,03   4,52	125,40

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

Ответ: ; ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Решение  системы линейных уравнений методом  простых итераций.

Матрица системы	Правая часть
38.1000  .1601  .1916  .2230	124.0015
.1237  37.2000  .1866  .2180	128.3760
.1187  .1502  36.3000  .2131	132.3800
.1137  .1452  .1766  36.4000	134.0134

 

Теория

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Решив первое уравнение  относительно , второе – относительно и т.д., систему приведем к виду:

Зададим какие-либо начальные  значения неизвестных и подставим их в правые части системы. Получим первые приближения. Используем их для получения вторых, третьих приближений и т.д. до тех пор, пока не достигнем заданной точности.

Для решения системы  гаусса необходимо, чтобы сумма коэффициентов  каждой строки была намного меньше суммы диагональных коэффициентов (условие выполнено).

Решение:

 

 

 

Примем начальные  значения за ноль

0	0	0	0
3,25633	3,450968	3,646691	3,842186
3,200907	3,399334	3,626576	3,799349
3,201476	3,33987	3,632766	3,79984
3,20144	3,339834	3,600063	3,799805
3,201605	3,399998	3,632763	3,799968
3,201438	3,339833	3,526281	3,799804
3,201978	3,400369	3,528094	3,800336
3,201964	3,400355	3,528073	3,800323
3,201964	3,400355	3,528074	3,800324
3,201964	3,400355	3,528069	3,800324
3,201964	3,400355	3,528074	3,800324
3,201964	3,400355	3,528057	3,800324
3,201964	3,400355	3,528057	3,800324

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.Численное  интегрирование.

Теория:

Метод прямоугольников.

Если точку  совместим с точкой а, то получим площадь заштрихованной фигуры приближенное значение интеграла равно:

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

 

 

Метод трапеций.

 

                 …

 

 

 

 

Метод Симпсона.

 

Если первую интерполяционную формулу Ньютона  проинтегрировать на некотором интервале  получим формулу Симпсона.

Решение:

i		F(x)
0	0	0,909297
1	0,31416	0,945615
2	0,62832	0,998885
3	0,94248	0,922908
4	1,25664	0,579429
5	1,5708	-7,3Е-06
6	1,88496	-0,57944
7	2,19912	-0,92291
8	2,51328	-0,99888
9	2,82744	-0,94561
10	3,1416	-0,9093

 

 

1) Формула прямоугольников

(левых прям.)

(правых прям.)

 

2) Метод трапеций

 

3) Метод Симпсона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.Приближенное  решение задачи Коши методом  Эйлера.

Теория:

Пусть функция  задана таблично, требуется решить дифференциальное уравнение первого порядка , пусть задано начальное условие . Требуется найти решение на [a, b].

Разделим [a, b] на n равных частей и выделим некоторый k-ый участок, проинтегрируем уравнение на k-ом участке

Учитывая свойства интеграла и принимая значение производной  равной некоторой константе, получим  следующее выражение:

Значение функции  в данном случае обозначим значение функции в т.k, тогда используя понятие приращения функции, получим справедливость следующего равенства:

Продолжая этот процесс на [a, b] и каждый раз принимая подынтегральную функцию константой, получим табличное решение дифференциального уравнения на заданном отрезке [a, b].

 

Решение:

				a	b
		0	0	-5	0

 

i
0	-5	0,00000	0,00000	0,50000	0,00000
1	-4,5	0,50000	0,00000	0,29978	0,25000
2	-4	0,79978	0,25000	0,21215	0,27489
3	-3,5	1,01194	0,52489	0,15576	0,24352
4	-3	1,16769	0,76841	0,11964	0,19964
5	-2,5	1,28733	0,96805	0,09623	0,15964
6	-2	1,38356	1,12769	0,08052	0,12793
7	-1,5	1,46408	1,25563	0,06950	0,10422
8	-1	1,53357	1,35985	0,06141	0,08686
9	-0,5	1,59499	1,44671	0,05523	0,07414
10	0	1,65022

 

 

 

Ответ: y=1,65022

25.Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта.

Теория:

 

Пусть функция  задана таблично, требуется решить дифференциальное уравнение первого порядка , пусть задано начальное условие . Требуется найти решение на [a, b].

Численное решение  уравнения будем искать по формуле  Эйлера:

.

Метод Рунге-Кутта  позволяет заменить это следующим  числом:

где

 

Решение:

				a	b
		-1	2	0	2

 

i
0	0,00	-1,00000	2,00000	-0,18186	0,20000
	0,10	-1,09093	2,10000	-0,15034	0,19477
	0,10	-1,07517	2,09739	-0,15498	0,19494
	0,20	-1,15498	2,19494	-0,11400	0,17484	-0,15108	0,19238
1	0,20	-1,15108	2,19238	-0,11588	0,17506
	0,30	-1,20902	2,27991	-0,07514	0,13543
	0,30	-1,18865	2,26009	-0,08792	0,13849
	0,40	-1,23900	2,33086	-0,05019	0,08075	-0,08203	0,13394
2	0,40	-1,23311	2,32632	0,05392	0,08216
	0,50	-1,26007	2,36740	-0,03157	0,01583
	0,50	-1,24890	2,33423	0,04489	0,02259
	0,60	-1,27800	2,34891	-0,02785	-0,04566	-0,03911	0,01889
3	0,60	-1,27223	2,34521	-0,03146	-0,04353

 

 

 

 

	0,70	-1,28796	2,32345	-0,02971	-0,10006
	0,70	-1,28708	2,29518	-0,03728	-0,09537
	0,80	-1,30951	2,24984	-0,03883	-0,14153	-0,03405	-0,09599
4	0,80	-1,30627	2,24922	-0,04042	-0,14061
	0,90	-1,32648	2,17892	-0,04973	-0,17151
	0,90	-1,33114	2,16347	-0,05175	-0,17054
	1,00	-1,35802	2,07869	-0,06267	-0,18993	-0,05101	-0,16910
5	1,00	-1,35728	2,08012	-0,06259	-0,18995
	1,10	-1,38857	1,98514	-0,07513	-0,19880
	1,10	-1,39484	1,98072	-0,07396	-0,19895
	1,20	-1,43124	1,88117	-0,08685	-0,19920	-0,07460	-0,19744
6	1,20	-1,43188	1,88267	-0,08624	-0,19913
	1,30	-1,47500	1,78311	-0,09790	-0,19235
	1,30	-1,48083	1,78650	-0,09520	-0,19121
	1,40	-1,52708	1,69146	-0,10600	-0,17789	-0,09641	-0,19069
7	1,40	-1,52829	1,69198	-0,10552	-0,17753
	1,50	-1,58105	1,60322	-0,11405	-0,15793
	1,50	-1,58531	1,61302	-0,11035	-0,15372
	1,60	-1,63864	1,53826	-0,11636	-0,12566	-0,11178	-0,15442
8	1,60	-1,64007	1,53757	-0,11619	-0,12539
	1,70	-1,69816	1,47487	-0,11896	-0,08782
	1,70	-1,69955	1,49366	-0,11343	-0,07731
	1,80	-1,75350	1,46026	-0,10978	-0,02064	-0,11513	-0,07938
9	1,80	-1,75519	1,45819	-0,10997	-0,02106
	1,90	-1,81018	1,44766	-0,09956	0,05269
	1,90	-1,80497	1,48453	-0,08916	0,07395
	2,00	-1,84435	1,53213	-0,06212	0,16142	-0,09159	0,06561

    0,00   -1,84678   1,52379

 

Ответ:    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.Приближенное  решение задачи Коши методом  Адамса-Башфорта.

							a		а		b
	-			0		-0,3		1		1		2

 

Теория:

Пусть дано дифференциальное уравнение  на [a, b] с шагом h и начальными условиями . Разделим отрезок [a, b] на n частей, воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона, продифференцируем эту функцию, введя переменную .

Проинтегрируем  и найдем

  (1) – формула Адамса

Для применения формулы Адамса необходимы четыре начальные  значения , которые можно найти методом Рунге-Кутта. Зная эти значения, можно найти величины:

Метод Адамса заключается в продолжении диагонали  таблицы разности с помощью формулы 1. Используя числа  , которые располагаются в таблице по диагонали и используя формулу 1, полагая n=3 находим

Имея значение , найдем . Значение , найдем:

В общем виде

Подсчитанное  по этой формуле значение функции  будем называть предсказанным. Это  значение необходимо уточнить. Для  этого нужно записать и сделать перерасчет по формуле коррекции

- интерполяционная формула Адамса

Для вычисления будем использовать следующие формулы:

- экстраполяционная формула Адамса

- интерполяционная формула Адамса

 

Решение:

Первые  четыре значения высчитываем методом Эйлера

i
0	1	0,0000	-0,3000	1,0000	0,0000	-0,5403	0,4886
1	1,1	0,0000	-0,3540	1,0489	0,0000	-0,4986	0,4912
2	1,2	0,0000	-0,4039	1,0980	0,0000	-0,4554	0,4916
3	1,3	0,0000	-0,4494	1,1471	0,0000	-0,4111	0,4898	0	-0,039	0,0488
4	1,4	0,0000	-0,4533	1,1520	0,0000	-0,4066	0,4893	0	-0,044	0,0491
5	1,5	0,0000	-0,4577	1,1569	0,0000	-0,4022	0,4890	0	-0,038	0,0489
6	1,6	0,0000	-0,4615	1,1618	0,0000	-0,3977	0,4885	0	-0,04	0,0488
7	1,7	0,0000	-0,4655	1,1667	0,0000	-0,3932	0,4880	0	-0,039	0,0488
8	1,8	0,0000	-0,4694	1,1716	0,0000	-0,3887	0,4875	0	-0,039	0,0487
9	1,9	0,0000	-0,4733	1,1764	0,0000	-0,3842	0,4870	0	-0,038	0,0487
10	2	0,0000	-0,4771	1,1813	0,0000	-0,3797	0,4865	0	-0,038	0,0486