Контрольная работа по "Математике"

                   

   Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

финансовый университет

при правительстве российской федерации

                             ярославский филиал        

 

       Кафедра высшей математики

 

Факультет: учётно-статистический         Направление: Экономика

 

 

 

 

Контрольная работа №1

 

По  теории вероятности 

и математической статистике

 

 

           Вариант № 1

 

 

 

 

Студент: Внятнова Екатерина Юрьевна

                                               Курс:     СП 1

                   Форма обучения: заочная

                          Личное дело №: 100.31/120171

 

Преподаватель: Черномордик В.Д.

 

 

                                 Ярославль 2013

                    Контрольная №3

 

Задача 1. Из 40 вопросов курса высшей математики студент знает 32.

На  экзамене ему случайным образом  предлагаются два вопроса.

Какова  вероятность того, что студент  ответит правильно:

а) хотя бы на один вопрос;

б) на оба вопроса?

Решение. Под случайным событием в данной задаче понимается получение студентом двух вопросов на экзамене. Вопросы повторяться не могут и порядок их следования в билете не важен. Тогда общее число возможных исходов данного события определяется число сочетаний из 40 элементов по 2 и вычисляется по формуле:  

а) Рассчитаем вероятность  того, что студенту попадется в  билете два вопроса из тех, которые он не знает. Вновь имеем дело с сочетаниями 8 элементов по 2, число которых определяется по формуле:  

Тогда вероятность такого события равна   Тогда вероятность противоположного события, заключающегося в том, что студенту попадется хотя бы один вопрос, который он знает, равна: 

б) Ищем теперь вероятность  того, что студенту попадутся оба  вопроса из тех, что он знает. Имеем дело с сочетаниями из 32 элементов по 2, число которых определяется по формуле:   

Тогда вероятность этого события равна 

 

 

 

 

 

Задача 2. При высаживании рассады помидоров только 80% приживается.

Найти вероятность того, что из шести высаженных растенийприживется не менее пяти.

Решение. Искомую вероятность ищем по формуле Бернулли. Вероятность того, что событие наступит   раз в   независимых испытаниях равна   здесь   — вероятность наступления отдельного события (в нашем случае     — вероятность того, что это событие не наступит в единичном исследовании (в нашем случае   Ищем вероятность того, что приживется 5 или 6 кустов, то есть искомая вероятность равна:  

  

Задача 3. Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероят_

ностью 0,2.

Найти вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо

киоска  в течение часа:

а) купят газету 90 человек;

б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно).

Решение.

а) Имеем      , тогда   следовательно в расчетах  можно использовать локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.  

  

Искомая вероятность  равна:  

б) Ищем вероятность  того, что газеты не купят, поэтому  в данном случае       Получаем тогда:  

  

Тогда получаем, что искомая вероятность равна (см. таблицу значений функции Лапласа):  

Задача 4. Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Веро_

ятность поступления сигнала с этих объектов составляет 0,2, 0,3 и 0,6

соответственно. Составить закон распределения  случайной величины – числа

объектов, с которых поступит сигнал.

Найти математическое ожидание и дисперсию  этой случайной

величины.

Решение. Введем обозначения   — события, заключающиеся в поступлении сигналов с первого, второго и третьего объектов соответственно. Тогда:   

  

  

  

  

  

Контроль: 

Закон распределения тогда  принимает вид:

	0	1	2	3
	0,224	0,488	0,252	0,036

Математическое ожидание вычисляем по формуле:  

  

Дисперсию вычисляем  по формуле:  

  

  

Задача 5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:  

Найти по этом данным:

• параметр  ;
• математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
• функцию распределения  .

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке  . Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.

Решение. 

а) В соответствии с основным свойством плотности  вероятности, несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от   до   равен единице, то есть в нашем случае получаем:  

Итак, функция  плотности вероятности случайной  величины   имеет вид:  

б) Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется в нашем случае по формуле:  

Дисперсия непрерывной  случайной величины вычисляется в данном случае по формуле:  

  

в) Функция распределения  связана с плотностью вероятности  следующим образом:  

Интегрируя, получаем:   

С помощью неравенства  Чебышева оценим, что случайная величина принимает значения, находящиеся в промежутке    

В нашем случае получаем:  

Это означает, что  вероятность того, что наша случайная величина примет значение, находящееся в промежутке   ограничена снизу значением 

Оценим теперь эту же вероятность  с помощью функции распределения:   

  

Полученные значения не совпадают, поскольку неравенство Чебышева дает лишь нижнюю оценку вероятности случайного события, а не точное значение этой вероятности.

 

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         Контрольная 4

Задача 1. С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования представлены в таблице:

Время обслуживания, мин.	<2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	>12	Итого
Число клиентов	6	10	21	39	15	6	3	100

Найти:

• границы, в которых с вероятностью 0,9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда;
• вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине);
• объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0,9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине).

Решение. Находим выборочную среднюю:   

Здесь:   объем выборки,               — середины интервалов. Крайние незамкнутые интервалы заменены интервалами соответствующей длины.  

  

Находим выборочную дисперсию:  

  

  

  

а) Находим границы, в которых с вероятностью 0,9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда.

По таблицам значений функции Лапласа находим   

Интервальные  оценки для средней находятся  по формулам при объеме выборки    

Искомые границы  определяются двойным неравенством   то есть 

б) Находим среднюю квадратическую ошибку выборки для доли. С учетом того, что число клиентов очень велико, объем генеральной совокупности   поэтому формула принимает вид (для бесповторной выборки):  

Здесь   выборочная доля клиентов в выборке, время обслуживания которых составило меньше 6 минут:  

Тогда в нашем  случае получаем:  

Ищем вероятность  того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине).  

в) Ищем объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0,9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине).

В качестве неизвестного значения   для определения объема выборки берем его состоятельную оценку   найденную ранее. Учитывая, что   по таблице значений функции Лапласа определяем, что   и объем повторной выборки равен:   

Задача 2. По данным задачи 1, используя  -критерий Пирсона, на уровне значимости a=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина   – время обслуживания клиентов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение. Нормальное распределение имеет вид:  

Используем данные, полученные в предыдущем задании:     Поскольку количество наблюдений достаточно велико, в качестве дисперсии нормального распределения   возьмем   То есть        Тогда теоретическое нормальное распределение принимает вид:  

Для расчета  вероятностей   попадания случайной величины в интервал   используем функцию Лапласа:   

  

Для нашего случая получаем:  

  

Для каждого  промежутка получаем:  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Составим таблицу

Интервал	Эмпирические  частоты	Вероятности
<2	6	0,0365	1,513
2-4	10	0,1249	0,4964
4-6	21	0,25221	0,7064
6-8	39	0,2881	3,6042
8-10	15	0,19606	1,0821
10-12	6	0,0754	0,3145
>12	3	0,017225	0,9475
Сумма	100	0,9904

Итого значение статистики 

Определим количество степеней свободы по формуле     — число интервалов,   — число параметров закона распределения. То есть   Соответствующее критическое значение статистики для уровня значимости   равно  , что больше полученных  . Вывод: гипотеза подтверждается.

Тут бы надо построить графическое изображение эмпирического (в виде гистограммы) и теоретического (в виде линии) распределений. На бумаге я это сделал без труда, а вот на компьютере почему-то стало лень рисовать. Может быть найдутся желающие мне помочь улучшить статью? Something like that:

Задача 3. Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице:

	5-9	9-13	13-17	17-21	21-25	Итого
15-21	3	2	1			6
21-27	1	2	3	2		8
27-33		2	7	3		12
33-39		2	5	8		15
39-45			2	2	1	5
45-51				2	2	4
Итого	4	8	18	17	3	50

Необходимо:

• вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии;
• предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
• найти уравнения прямых регрессии, дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
• вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости a=0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
• используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43 %.

Решение. 

1. Находим групповые  средние по формулам:  

Здесь   и   — середины соответствующих интервалов:  

  

Пример вычислений групповых средних: