Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №1

19. Известны длины векторов   и ; – угол между этими векторами.

Вычислить: 1) и ,  2) .

3) Найти площадь треугольника, построенного на векторах  и .

Сделать чертеж.

= 8, = 3, = 60°

Решение: 1.   ₌

=   =

= = = 9,85

₌   = = = 7

2. = 10 ‒ 3 =   ‒ 5 =   + 5 =

= = · = 11·3·8·0,5 = 132

3. Площадь треугольника, построенного на векторах и

  = 3 + 3 =   +  =   ‒  =

=

S = = = = 8 = =   8 ·3·8· = 83,14

 

 

 

 

 

 

39. Известны координаты трех вершин A, B, D параллелограмма ABCD. Средствами векторной алгебры требуется :

1. Найти координаты точки C – четвертой вершины параллелограмма;
2. Найти проекцию вектора на вектор ;
3. Найти угол между диагоналями параллелограмма;
4. Найти площадь параллелограмма;
5. Найти объём пирамиды, основанием которой является , а вершина расположена в начале координат.

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Решение: 1. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Так как О – середина отрезка AD, то получим:

x_o = = = -2;  y_o = = = -2,5;  z_o = = = -3

C другой стороны, О – середина отрезка ВС. Координаты точек В и О известны, координаты точки С определим по тем же формулам:

-2 = = ;  -2,5 = = ;  -3 = =

откуда  = -6;  = -9;  = -12

Координаты точки С (-6; -9; -12)

 

2. Найдем проекцию вектора на вектор

= ( ) = (-1; 4; 13)

= ( ) = (-10; -5; 6)

  = = = 5,36

 

3. Найдем угол между  диагоналями параллелограмма BC и AD

= ( ) = (-8; -9; -18)

= (-10; -5; 6)

cos φ = = = 0,062

φ = 86,45°

 

4. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и

* ₌ = – +89 –124+ 45

S = ₌ = 159,13

5. Найдем объём пирамиды, основанием которой является , а вершина расположена в начале координат.

Объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах , и

= (3;0;-7);  = (2;4;6);  = (-6;-9; -12)

  = = 3·(–48+54)–0·(–24+36)–7·(–18+24) = 18–0–42 = –24

V = = 4

 

 

59. Даны матрицы:

,   ,  

Вычислить: В ·С-1 +ЗAT

Решение: Найдем С^-1, для чего вычисляем определитель:

∆ = = 2∙3·1 ‒1∙0·3 + 1∙1·0 – 0·(–1)·3 - 3·1·1- 2∙1·0 = 3

Так как ∆≠0, то С^-1 существует и равна: С^-1  = .

Далее вычисляем алгебраические дополнения

С₁₁ = (–1)¹⁺¹ · = 3;   С₂₁ = (–1)²⁺¹ · = ‒1;    С₃₁ = (–1)³⁺¹ · = 4;

 

С₁₂ = (–1)¹⁺² · = ‒3;    С₂₂ = (–1)²⁺² · = 2;    С₃₂ = (–1)³⁺² · = ‒5;

 

С₁₃ = (–1)¹⁺³ · = 0;    С₂₃ = (–1)²⁺³ · = 0;    С₃₃ = (–1)³⁺³ · = 3.

 

С = => С^-1  =

Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А· А^-1 = Е.

 =

= =

= = = Е

В·С^-1 = · =

= =

= =

А = => А^Т =  

3А^Т = 3· =

В ·С^-1 +ЗA^T = +  =

 

 

79. Решите систему линейных уравнений:

1. Методом Крамера;    2. Матричным методом.

_{Решение:}

а) Метод Крамера. Составим определитель ∆ из коэффициентов системы

 

∆ = = 2 +3 +1 = 2·(–2–2) +3 ·(‒2‒3) – 1 ·(1–3) = –23

Так как ∆≠0, то система  имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

х = ; y = z = .

 

∆_x = = -1  +3   +1 = –1·(–3) +3 ·(‒11) + 1·7 = –23; 

∆_y = = 2  +1   +1 = 2·(–11) +1 ·(‒5) + 1 ·(–19) = –46;

∆_z = = 2  +3   ‒1 = 2·(–7) +3 ·(‒19) – 1 ·(–2) = –69

.Следовательно, по формулам  Крамера

x = = ;  y = z = =   .

Проверим результат подстановкой полученного решения во все уравнения  системы:

  2·1 –3·2 +1·3= –1 

 1·1 + 1·2 + 1·3 = 6

 3·1+1·2 –2·3 = –1

Система линейных уравнений  решена верно.

Ответ: x = 1;  y =2;  z =3.

 

б) Матричный метод.

Выписываем матрицу А системы: А =

Так как ∆=–23≠0, то A^-1 существует и равна: А^-1  = , то решение ищем по формуле: = A^-1×B, где B –  матрица-столбец свободных членов: В = .

Вычисляем алгебраические дополнения

А₁₁ = (–1)¹⁺¹ · = –3;  А₂₁ = (–1)²⁺¹ · = –5;   А₃₁ = (–1)³⁺¹ · = –4;

 

А₁₂ = (–1)¹⁺² · = 5;    А₂₂ = (–1)²⁺² · = –7;    А₃₂ = (–1)³⁺² · = –1;

 

А₁₃ = (–1)¹⁺³ · = ‒2;    А₂₃ = (–1)²⁺³ · = –11;    А₃₃ = (–1)³⁺³ · = 5.

 

А = => А^-1  = - =

 

Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А· А^-1 = Е.

А^-1 · А =  =

=   =

=   = = Е

Ищем решение системы: = A^-1×B =

= =   =

Ответ: x = ;  ; y = ;  ; z =.

 

 

99. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

_{Решение:}

Перепишем систему уравнений  в матричном виде и решим его  методом Гаусса

От второй строки отнимем  первую строку, умноженную на 2:

От третьей строки отнимем  первую строку, умноженную на 4:

От четвертой строки отнимем  первую строку:

Вторую строку делим на (-3)

От первой строки отнимаем 2 строку:

 

От третьей строки отнимаем 2 строку, умноженную на (-2):

 

От четвертой строки отнимаем 2 строку, умноженную на (-3):

 

Третью строку делим на (-8/3)

От первой, второй, четвертой  строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 4/3, 2/3, 1:

 

Четвертую строку делим на (-3)

 

От второй строки отнимаем четвертую, умноженную на (-1):

Получили: x = 2; y = –1/12; z = –7/4; t = 5/12

Проверка:

 

Ответ: x = 2; y = –1/12; z = –7/4; t = 5/12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

 

19. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны AВ;

2) уравнения сторон АВ  и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты CD и её длину;

5) уравнение медианы АЕ  и координаты точки К пересечения этой медианы с

    высотой CD;

6) уравнение прямой, проходящей  через точку К параллельно стороне АВ,

7) сделать чертёж.

Дано: А(3;6), В(15;–3), С(13;11)

 

Решение:

1) Длина стороны  АВ равна:

= = = 15

 

2) Для стороны  АВ каноническое и общее уравнение  имеют вид

 ⇒  ⇒ −9(х – 3) = 12(у ‒ 6)  ⇒  3х + 4у ‒ 33= 0

или y = (х – 11);      угловой коэффициент стороны АВ равен k₁ = –

 

Для стороны  BC каноническое и общее уравнение имеют вид

 ⇒  ⇒  −14(х – 13) = 2(у – 11)  ⇒ 7х + у – 102= 0

или y = – ; угловой коэффициент стороны ВС равен k₂ =

 

3) Угол В в радианах равен

tg φ ===

φ = arctg = 0,97 рад; второй угол равен φ′ = π – φ = 2,17 рад

 

4) Уравнение прямой, проходящей через точку С, имеет вид:

(y – y_С)= k₃ (x – x_С) ⇒ (y – 11 ) = k₃ (x –13)

Так как высота CD и сторона АВ перпендикулярны, то их угловые коэффициенты соотносятся как k₃ = =

Уравнение высоты CD : (y – 11) = (x – 13) ⇒ 3y – 4x + 19 = 0

По формуле  расстояние от точки С до прямой АВ (коэффициенты прямой из общего уравнения   А = 3, В= 4, С = ‒33) равно

d = = == 10

 

5) Медиана  AE делит сторону ВС пополам, т.е. в отношении λ = 1

x_E = = = 14;      y_E = = = 4

Координаты  точки Е (14;4)

Каноническое  и общее уравнение медианы  АЕ имеют вид:

  ⇒   ⇒ –2(х – 3) = 11(у ‒ 6)  ⇒ 2х + 11у – 72 = 0

Координаты точки К должны удовлетворять уравнению высоты CD и уравнению медианы АЕ, т.е. могут быть найдены из решения системы уравнений: 

Решение системы:  x = ;  y =

Координаты точки К (8,5; 5)

 

6)Уравнение прямой l, проходящей через точку К:

(y – y_К) = k₄ (x – x_К) ⇒ (y ‒ ) = k₄ (x ‒)

Так как прямая l и сторона АВ параллельны, то их угловые коэффициенты равны

k₄ = k₁ = – , и уравнение прямой l примет вид:

(у ‒ 5)= – (x ‒) ⇒ 3x + 4y ‒ 45,5 =0

 

7) Делаем чертёж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39. Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вершины – точки А(-1;3) и В(-2;4). Найти две другие вершины этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. Сделать чертёж.

Решение:

у² = 2рх – уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат.  Фокус параболы находится в точке F (р/2; 0); уравнение ее директрисы х = – р/2.

Радиус окружности равен расстоянию от фокуса до директрисы, т.е R = p.

Уравнение окружности:

(x – р/2)² + y² = р².

Найдем точки пересечения, подставив правую часть уравнения параболы в уравнение окружности:

(x – р/2)² + 2рх = р²  →   х = р/2

Отсюда точки пересечения: М₁ (р/2; р); М₁ (р/2; – р).

Выполним чертеж

 

 

 

 

 

 

59. Даны координаты точек А и В. Требуется:

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс;
2. Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы;
3. Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;
4. Построить гиперболу, её асимптоты и окружность.

 Дано: А(6;-2 ), В(–8;12)

Решение:

1. Каноническое уравнение эллипса:   .

Подставим поочередно в это  уравнение текущие координаты точек  А и В, получим систему уравнений :

       →    

Введем обозначения: = m и = n ,  тогда система уравнений примет вид:

Ее решение:         →→

Каноническое уравнение  эллипса, проходящего через данные точки А и В:

 

2. Числа а и b называются полуосями эллипса: a = 2  ;  b = 2

a > b → c = = = 2

_{Эксцентриситет эллипса есть отношение} 

= ε = ≈ 0, 577 < 1

Фокусы эллипса F₁ (c;0)=(2;0) и F₂ (–c;0)=(–2;0), соответственно фокальные радиусы r₁ и r₂ определяются формулами:  r_1,2 = a ± e x = 2  ±

3. Найдем все точки пересечения эллипса с окружностью радиусом R = 3

Уравнение окружности: x² + y² = R²  или x² + y² = 9

Решим совместную систему  уравнений эллипса и окружности, решением которой и будут координаты точек пересечения эллипса с  окружностью:

  →   →   →

Точки пересечения эллипса  с окружностью:

К₁ (;); К₂ (–;); К₃ (–;–); К₄ (;–);

4. Строим эллипс и окружность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79. Построить график функции в полярной системе координат по точкам, придавая j значения через промежуток p/8 (0 £ j £ 2p). Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью, а полюс – с началом координат).

Дано:

Решение: Подставим значение φ через промежуток p/8 в уравнение линии и по полученным данным построим график в полярной системе координат

φ	0	π/8	π/4	3π/8	π/2	5π/8	3π/4	7π/8	π	9π/8	5π/4
r	3	1,5	0	1,5	3	1,5	0	1,5	3	1,5	0
φ	11π/8	3π/2	13π/8	7π/4	15π/8	2π
r	1,5	3	1,5	0	1,5	3