Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Декабря 2013 в 22:38, контрольная работа
19. Известны длины векторов и ; – угол между этими векторами.
Вычислить: 1) и , 2) .
3) Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .
Сделать чертеж.
= 8, = 3, = 60°
39. Известны координаты трех вершин A, B, D параллелограмма ABCD. Средствами векторной алгебры требуется :
1. Найти координаты точки C – четвертой вершины параллелограмма;
2. Найти проекцию вектора на вектор ;
3. Найти угол между диагоналями параллелограмма;
4. Найти площадь параллелограмма;
5. Найти объём пирамиды, основанием которой является , а вершина расположена в начале координат.
A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)
Переход от полярных координат к прямоугольным осуществляем по формулам:
сos φ =
r =
Согласно этим формулам имеем
= 3 → = → =
99. Даны точки А, В, С, D. Требуется найти:
1. Уравнение плоскости (Q), проходящей через точки А, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости (Q);
2. Уравнение прямой (I), проходящей через точки В и D;
3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I);
4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точку А перпендикулярно прямой (I);
5. Угол между плоскостями (Р) и (Q);
6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в направлении ее радиус–вектора;
7. Угол между прямыми (I) и (т).
Дано: А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5), D(6;4;0)
Решение:
1.Уравнение плоскости (Q), проходящей через точки А, В и С :
= 0 ⇒ = 0 ⇒ = 0 ⇒(x – 1)(48–12) –(y + 8)(–72 – 0) + (z – 1)(–54 – 0) = 0
36 (x – 9) + 72 (y + 8) – 54 (z – 1) = 0
2x + 4y – 3z + 17 = 0
Проверим, лежит ли точка D(6;4;0) в плоскости (Q). Для этого подставим значения координат точки D в уравнение плоскости (Q):
2·6 + 4·4 –3·0 + 17 = 45 ≠ 0
Следовательно, точка D не лежит в заданной плоскости (Q).
2. Уравнение прямой (I), проходящей через точки В и D:
⇒
3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I):
Sin φ1 = = = 0,371
где А = 2, В = 4, С = –3 – коэффициенты из уравнения плоскости (Q);
l = 15, m = 0, n = 0 – коэффициенты из уравнения прямой (I)
φ1 =arcsin 0,371 = 21,80º
4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точку А (9;-8;1):
A(x – 9) + B(y +8) + C(z – 1) = 0
Условие перпендикулярности плоскости (Р) и прямой (I):
, т.е.
Искомое уравнение: 15(x – 1) + 0(y – 1) + 0(z – 1) = 0
15x – 15 = 0
5. Угол между плоскостями (Р) и (Q):
cos φ2 = = = 0,371
где А1 = 2, В1 = 4, С1 = –3 – коэффициенты из уравнения плоскости (Q);
А2 = 15, В2 = 0, С2 = 0 – коэффициенты из уравнения плоскости (Р);
φ2 = arccos 0,371 = 38,20º
6. Уравнение прямой (m), проходящей через точку А (9;-8;1) в направлении ее радиус–вектора
= (9;-8;1):
7. Угол между прямыми (I) и (m):
cos φ3 = = = 0,745
где l1 = 15, m1 = 0, n1 = 0 – коэффициенты из уравнения прямой (I) ;
l2 = 9, m2 = -8, n2 = 1 – коэффициенты из уравнения прямой (m)
φ3 = arccos 0,745 = 41,85º