Контрольная работа по «Математике»

1. Раздел «Множества».

1. В классе 20 человек. На  экзаменах по истории, математике  и литературе 10 учеников не получили  ни одной пятерки, 6 учеников получили 5 по истории, 5 – по математике  и 4 – по литературе; 2 – по истории и математике, 2 – по истории и литературе, 1 – по математике и литературе. Сколько учеников получили 5 по всем предметам?

2. Упростить: (A∩B) È (A∩B).

3. Является ли множество А = {1, 2, 3} подмножеством множества  В = {{1}, {2, 3}}?

4. Нарисовать диаграмму  Эйлера-Венна для множества  (А \ В) ∩ С

5. Эквивалентны ли множества A = {2x, 0 < x < ¥} и B = {2n, n = 1, 2, …}?

 

Решение:

1. Множество всех учеников можно разбить на 2 непересекающихся подмножества, это множество U1 — тех учеников, кто не получил ни по одному из указанных экзаменов ни одну отличную оценку, и множество U2 — тех, кто хотя бы по одному из указанных экзаменов получил отличную оценку, по условию:

20 = |U1| + |U2|, кроме того, по  условию |U1| = 10, таким образом, 20 = 10 + |U2|, |U2| = 10.

Пусть множество учеников, получивших отличную оценку по математике, будет M, по истории H, по литературе L, тогда U2 = H ∪ M ∪ L, таким образом |H ∪ M ∪ L| = 10,

|H ∪ M ∪ L| = |H| + |M ∪ L| − |H ∩ (M ∪ L)| = |H| + |M| +|L| − |M ∩ L| − |(H ∩ M) ∪ (H ∩ L)| =

= |H| + |M| + |L| − |M ∩ L| − ( |H ∩ M| + |H ∩ L| − |H ∩ L ∩ M|) = |H| + |M| +|L| − |M ∩ L| − |H ∩ M| − |H ∩ L| + |H ∩ L ∩ M| = 10.

По условию: |H| = 6, |M| = 5, |L| = 4, |H ∩ M| = 2, |H ∩ L|=2, |M ∩ L| = 1,

6 + 5 + 4 − 1 − 2 − 2 + |H ∩ L ∩ M| = 10, 10 + |H ∩ L ∩ M| = 10, |H ∩ L ∩ M| = 0.

То есть, ни один из учеников не получил 5 сразу по всем предметам.

 

2.

Или, применив закон дистрибутивности, получим:

 

 

3. Нет, множество А = {1, 2, 3} не является подмножеством множества В = {{1}, {2, 3}}, так как не все элементы входят во множество , например,

 

 

4.

 

 

5. Нет, множества A = {2x, 0 < x < ¥} и B = {2n, n = 1, 2, …} не являются эквивалентами, так как между элементами этих множеств невозможно установить взаимно однозначное соответствие. Иначе говоря они не равномощны (одно счётно, другое континуально).

 

2. Раздел «Отношения. Функции».

1. Задано бинарное  отношение 

Найти , . Проверить, будет ли отношениерефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

2. Будет ли отношением  эквивалентности на множестве  действительных чисел отношение  , задаваемое равенством  x2 + y2 = 25?

3. Дана функция f(x) = x3 + ex,  отображающая множество действительных чисел R во множество действительных чисел, R® R. Является ли эта функция сюръективной, инъективной,  биективной? Почему?

 

Решение:

1. Область определения  отношения это есть множество первых координат в упорядоченных парах, то есть:

Область значений отношения это есть множество вторых координат в упорядоченных парах, то есть:

 

 

 

Найдём композицию отношений. Для этого, для элемента отношения находим элементы, у которых число стоит на первом месте Тогда элементы принадлежат композиции   То есть,

Получаем, что

 

Обратное отношение

то есть для нахождения обратного отношения нужно элементы в упорядоченных парах поменять местами.

 

Отношение не является рефлексивным, так как Симметрично, так как для всех из условия следует, что в этом случае обратное отношение совпадает с самим отношением. Не транзитивно, так как композиция не совпала с самим отношением.

 

2.

 

 

 

 

 

 

4. Раздел «Булевы функции».

Для данной формулы булевой функции

а) найти ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ методом равносильных преобразований;

б) найти СДНФ, СКНФ табличным способом (сравнить с СДНФ, СКНФ, полученными в пункте “а”);

в) указать минимальную ДНФ и соответствующую ей переключательную схему.

~

 

Решение:

а) Чтобы построить СДНФ и СКНФ доведём данную формулу до любой ДНФ и КНФ, используя равносильные преобразования.

~~~

 

 — получившеюся формулу можно рассматривать и как ДНФ, и как КНФ.

Добавим в элементарные конъюнкции недостающие переменные, применим закон дистрибутивности и получим СДНФ.

 

 

 

 

 

б) Составим таблицу истинности данной формулы:

			~		~
0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1
1	1	1	0	1	1

 

Тогда, используя алгоритм построения СДНФ и СКНФ по таблице истинности, получим:

 

 

Видим, результаты, что с построением равносильными преобразованиями, что по таблице истинности — совпали.

 

в) Минимальной ДНФ будет служить функция

Соответствующая ей переключательная схема: