Контрольная работа по "Метод оптимальных решений"

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Задание № 1                                                                                                  2

2 Задание № 2                                                                                                  6

3 Задание № 3                                                                                                  12

4 Задание № 4                                                                                                  19

Список использованной литературы                                                             23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Информация по фирме о  нормах затрат ресурсов  на  единицу выпускаемой  продукции, лимитах на эти ресурсы  и ценах реализации готовой продукции  представлена в таблице.

Наименование ресурсов	Нормa затрат на		Обьем ресурса
	Продукт A	Продукт B
Сырье (кг)	2	1	89
Оборудование (ст.час.)	1	4	104
Трудоресурсы (чел.час.)	6	1	388
Цена реализации (руб.)	121	323

Требуется:

1. Составить модель расчета оптимальной производственной программы для  этой фирмы на основе задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод  решения этой модели, найти оптимальную  программу выпуска продукции,  максимизирующую ожидаемый объем  продаж.

3. Сформировать задачу, двойственную к задаче расчета оптимальной производственной программы и составить обе группы условий “дополняющей нежесткости”.

4. Подставив в условия “дополняющей  нежесткости” оптимальную программу  выпуска, найти предельную эффективность  имеющихся у предприятия объемов ресурсов.

5. Выполнить проверку оптимальных  решений прямой и двойственной  задачи подстановкой их в ограничения  и целевые функции.

РЕШЕНИЕ

1. Составим модель расчета оптимальной производственной программы.

Пусть х₁ – объем производства продукта А

х₂ - объем производства продукта В.

Тогда расход сырья с учетом его  максимального  объема:  2х₁+х₂£89

Время работы оборудования:  х₁+4х₂£104

Затраты трудовых ресурсов: 6х₁+х₂£388

Выручка от реализации продукции  Z=121x₁+323x₂

С учетом того, что объем производства не может быть отрицательным, получаем задачу:

Z=121x₁+323x₂®max

2х₁+х₂£89

х₁+4х₂£104

6х₁+х₂£388

х₁,х₂³0

2. Решим задачу графически

Построим прямые: 

m₁:  2х₁+x₂=89

m₂:  х₁+4x₂=104

m₃:  6х₁+x₂=388

Построив полученные прямые, найдём соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение (рис 1).

Рис. 1

Многоугольником допустимых решений  задачи является пятиугольник OABCD, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Cтроим нормаль линии уровня =(121,323)/20= (6.05; 16.15) и одну из этих линий, например, 6.05x + 16.15x = 0. Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой. Эта прямая проходит через точку В  пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих  точке пересечения прямых 2х₁+x₂=89 и х₁+4x₂=104. Определяем координаты точки В. Для этого решим систему уравнений

2х₁+x₂=89

х₁+4x₂=104    ´2

2х₁+x₂=89

2х₁+8x₂=208   

7х₂=119

х₂=17      х₁=104-4×17=36

В результате получим  X = (36, 17). Вычисляем

Z(X ) = 121×36+323×17=9847

3. Сформируем задачу, двойственную к задаче расчета оптимальной производственной программы:

Пусть у₁ - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 9847 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимися 89 кг.

у₂ - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час. оборудования к имеющимися 104 ст. час.

у₃- величина ожидаемого роста найденного максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час. труда к имеющимися 388 чел. час.

 

Двойственная задача имеет вид:

G=89y₁+104y₂+388y₃®min

2y₁+y₂+6y₃³121

y₁+4y₂+y₃³323

y₁,y₂,y₃³0

Cоставим обе группы условий “дополняющей нежесткости”.

Относительно рассматриваемой задачи соответствующие условия «дополняющей нежесткости» первой и второй группы выглядят следующим образом:

у₁(89-2х₁-х₂)=0

у₂(104-х₁-4х₂)=0

у₃(388-6х₁-х₂)=0

х₁(2y₁+y₂+6y₃-121)=0

х₂(y₁+4y₂+y₃-323)=0

4. Подставим в условия “дополняющей нежесткости” оптимальную программу выпуска, найдем предельную эффективность имеющихся у предприятия объемов ресурсов.

Из первой группы условий , так как 388-6х₁^*-х₂^*=388-6×36-17= 155, следует, что труд не лимитирует оптимальную программу, а значит y₃. На рис. очевидно, что прямая, связанная с трудоресурсами, проходит выше точки, которая соответствует оптимальной производственной программе, что показывает избыточность труда для этой программы.

Из второй группы условий , следует, что, если оба продукта выпускаются  по оптимальной производственной программе, то есть  x₁^*=36, x₂^*=17 , то должны выполнятся равенства

2y₁+y₂+6y₃=121

y₁+4y₂+y₃=323

Из двух последних уравнений, с учетом  y₃=0, перейдем к решению следующей системы

 

2y₁+y₂=121

y₁+4y₂=323

 

2y₁+y₂=121

2y₁+8y₂=646

7y₂=525 

y₂=75     y₁=323-4×75=23

5. Выполним проверку оптимального решения

G=89×23+104×75=9847 руб.

В соответствии с вышесказанным  найденное оптимальное решение  двойственной задачи интерпретируется следующим образом.

у₁=23 руб.- величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 9847 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимся 89 кг.

у₂=75 руб. – величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 9847 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час. оборудования к имеющимся 104 ст. час.

у₃=0 руб. – величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 9847 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час. труда к имеющимся 388 чел. час.

 

 

Задание 2

Учитывая данные задания 1, исследовать  динамику предельной эффективности сырья при изменении его объема от нуля до бесконечности при сохранении других ресурсов в прежних объемах. 

Требуется: 

1. Рассмотреть модель расчета  оптимальной производственной программы  как задачу линейного  программирования с параметром, выражающим объем сырья. 

2. Используя графический метод  решения прямой задачи при  увеличении параметра от нуля  д бесконечности и условия  "дополняющей нежесткости", вычислить  убывающие значения  предельной  эффективности и определить диапазоны  их устойчивости. 

3. Записать выявленную функцию предельной эффективности сырья в табличной форме и построить ее график. 

РЕШЕНИЕ

1. При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита сырья в диапазоне от нуля до бесконечности. Для этого будем сдвигать на рис 2. прямую m1

Рис. 2

 

Рис. 2.1. Графический анализ изменения предельной эффективности 
 
дополнительно привлекаемой единицы сырья

Пунктирные прямые на рис. 2 рассмотренные в порядке (1), (2), (3), (4), отражают динамику роста лимитов потребления сырья для данного предприятия. Прямая m1 соответствует первоначально заданному лимиту по сырью, равному 89 кг. Пунктирная прямая (4) соответствует избыточному объему сырья по отношению ко всем программам, допустимым по лимитам для оборудования и труда.

При лимите сырья, представленном пунктирной прямой (1), область допустимых решений  задачи будет представлена треугольником, образованным этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения на таком треугольнике можно либо использовать градиент целевой функции, либо сравнить значения целевой функции в угловых точках треугольника. Такими точками можно взять, например, точки (10, 0) и (0, 20), расход сырья для которых одинаков и равен 20 кг. Выручку, соответствующую этим точкам, вычислим, как Z(10;0)=121×10+323×0=1210 и Z(0;20)=121×0+323×20= 6460. Отсюда видно, что оптимальным решением в данной ситуации будет точка x₁^*=0, х₂^*=20.

Решение двойственной задачи для данной ситуации найдем по составленным выше условиям «дополняющей нежесткости».

Из группы условий (1.1), так как  104-х₁^*-4х₂^*=104-0-80=24 и 388-6х₁^*-х₂^*=388-20=368, следует, что оборудование и труд не лимитируют оптимальную программу, а значит у₂=0, у₃=0.

Из группы условий (1.2) следует, что, если второй продукт выпускается по оптимальной производственной программе, то есть х₂^*=20, то должно выполняться равенство

y₁+4y₂+y₃-323=0

Из последнего уравнения, с учетом у₂=0, у₃=0, получим у₁^*=323.

При повышении лимита потребления  сырья пунктирная прямая будет двигаться  по направлению от начала координат, а треугольник, отражающий область допустимых решений, будет увеличиваться. При этом соответствующие оптимальные программы будут находиться на оси ординат, а вышеприведенные расчеты предельной эффективности сырья будут приводить к результату у₁^*=323. Такая ситуация будет качественно сохраняться до тех пор, пока оптимальная программа не совпадет с точкой А. Программу А, наряду с ограничением по сырью, начнет лимитировать ограничение по оборудованию. Поэтому расход сырья на программу А (0, 26) покажет границу диапазона устойчивости предельной эффективности у₁^*=323. Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.

Для расчета расхода сырья на программу А подставим ее координаты в левую часть ограничения по сырью r(x₁;x₂)=2x₁+x₂, а именно:

r(0;26)=0+26=26.

Результаты последних  расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 1 до 26 будет давать прирост максимума выручки 323 руб.

Для ответа на вопрос, будет  ли прирастать максимум выручки при  r>26, нужно сравнить значения выручки для программы A и программы D.

Координаты точки D:  

х₁+4x₂=104

6х₁+x₂=388

х₁+4x₂=104

24х₁+4x₂=1552

23x₁=1448

х₁^*=1448/ 23  х₂^*=236/23

Значение выручки в точке  D:  z(D)=1448/23×121+236/23×323=10932

Z(D)>Z(B). Это означает дальнейший рост максимума выручки от 9847 до 10932 руб. при движении ограничения по сырью от точки A к точке D.

Оптимальные программы будут находиться на отрезке AD. Характеризует эти программы тот факт, что по ним выпускается два продукта. Отметим, что при всех  ограничений по сырью, находящихся от точки А до точки D трудозатраты не являются лимитирующим фактором, поэтому у₃=0

Из группы условий (1.2) следует, что, если оба продукта выпускаются, должны выполняться равенства

2y₁+y₂+6y₃=121

y₁+4y₂+y₃=323

Из двух последних уравнений, с  учетом у₃=0,  получаем  у₁=23. Для того, чтобы получить правую границу диапазона устойчивости вычисленной предельной эффективности у₁=23, необходимо рассчитать расход сырья для программы D