Контрольная работа по "Прикладной математике"

                                                                                                                                                                

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ   УНИВЕРСИТЕТ   УПРАВЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Прикладная математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ.

 

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА.

 

Вариант № 22.

Формулировка линейной производственной задачи:

Фирма «Экомебель»  выпускает 4 вида продукции: х₁ - столы, х₂ – шкафы, х₃ – тумбы, х₄ – стулья. При этом фирма располагает 3 видами ресурсов: 126 т. – досок, 84 т. – шурупов, 75 т. - лака

Требуется составить такой план выпуска изделий х₁, х₂, х₃, х₄ , при котором мы уложимся в имеющиеся ресурсы и суммарная прибыль от реализации изготовленных по плану изделий будет максимальна.

Это – задача оптимизации  и для ее решения необходимо создать  математическую модель

 

А - матрица удельных затрат;

В - вектор объёмов ресурсов;

С - вектор удельной прибыли.

 

а₁₁   а₁₂    а₁₃    а₁₄     в₁

А =    а₂₁   а₂₂    а₂₃    а₂₄ ;     В= в₂      ;

         а₃₁   а₃₂   а₃₃   а₃₄               в₃

 

С = (с₁, с₂, с₃, с₄).

 

           В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:

                                              

С1	С2	С3	С4			26	35	18	30
a11	a12	a13	a14	B1		2	5	1	4	126
a21	a22	a23	a24	B2		3	0	7	2	84
a31	a32	a33	a34	B3		2	1	4	0	75

         

        2  5  1  4                                          126

А =  3  0  7  2                                        В =  84

        2  1  4  0                                              75

 

С=(26, 35, 18, 30 ) .

Х - вектор объёмов выпуска  продукции (производственная программа).

Х = (х₁, х₂, х₃, х₄) – 4 вида изделий.

В общем виде математическая модель линейной производственной задачи выглядит следующим образом:

найти Х = (х₁, х₂, х₃, х4) такие, что

1. z(x₁, x₂, x₃, x₄) = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + c₄x₄ ® max, где z- функция прибыли;

 

(2)     a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄ < в₁                                                     

         а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+а₃₄х₄ < в₂ ;

          а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃+а₃₄х₄ < в₃

 

(3)  x_i ³0 , i=1,4 .

     

(1) - целевая функция;

        (2) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);

        (3) - условие не отрицательности задачи .

Подставив соответствующие  значения , имеем:

1. z=26x₁+35x₂+18x₃+30х₄®max

(2)  2x₁ + 5x₂ + 1x₃ + 4x₄  £ 126

       3x₁               + 7x₃ + 2x₄   £ 84

          2x₁ + 1x₂ + 4x₃           £ 75

(3)         x_i  ³ 0, i=1...4.

 

(1)-(3)- математическая  модель линейной производственной  задачи.

Целевая функция (1) и условие не отрицательности (3) остаются без изменений. В линейные ограничения по ресурсам вводятся дополнительные выравнивающие переменные х5, х6, х7.,которые также являются базисными.

            х5 - остаток 1-го ресурса; 

            х6 - остаток 2-го ресурса;

            х7 - остаток 3-го ресурса.

Неравенство (2) следует  заменить уравнениями. Получим задачу линейного программирования в каноническом виде:

 

(1) z = 26x1 + 35x2 + 18x3 + 30х4 ® max 

  (2)    2x₁ + 5x₂ + 1x₃ + 4x₄  = 126

       3x₁               + 7x₃ + 2x₄   = 84

          2x₁ + 1x₂ + 4x₃           = 75

(3)         x_i  ³ 0, i=1...7.

(1)-(3)-задача линейного программирования .

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ .

  Для решения задачи симплексным методом необходимо построить симплексную таблицу, что и сделано в следующей таблице:

 

 

	Сб	Хб	Н	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	С5	Х5	В5	а11	а12	а13	а14	1	0	0
2	С6	Х6	В6	а21	a22	a23	a24	0	1	0
3	C7	X7	B7	a31	a32	a33	a34	0	0	1
4		Z	Z0	D1	D2	D3	D4	0	0	0

            

 

Подставив соответствующие значения из (1) и (3), имеем :

 

	Сб	Xб	Н	26	35	18	30	0	0	0	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	0	Х5	126	2	5*	1	4	1	0	0	25min
2	0	Х6	84	3	0	7	2	0	1	0	-
3	0	Х7	75	2	1	4	0	0	0	1	75
4	–	–	0	-26	-35	-18	-30	0	0	0
1	35	Х2	126/5	2/5	1	1/5	4/5	1/5	0	0	63
2	0	Х6	84	3*	0	7	2	0	1	0	28min
3	0	Х7	249/5	8/5	0	19/5	-4/5	-1/5	0	1	31
4	–	–	882	-12	0	-11	2	7	0	0
1	35	Х2	14	0	1	-11/5	8/15	1/5	-2/15	0
2	26	Х1	28	1	0	7/3	2/3	0	1/3	0
3	0	Х7	5	0	0	1/15	-28/15	-1/5	-8/15	1
4	–	–	1218	0	0	17	6	7	4	0

 

Пояснения к таблицам.

Хб- базисная переменная;

Н -  значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.

aij* - разрешающий элемент.

Z=Сб*Gj-Cj; Gj=(а1j, a2j, a3j)

Пояснения к решению  задачи. Алгоритм решения.

Просматриваем значения 4-й строки. Если все Dj ³ 0 ,то решение задачи оптимально.

Если какие-либо Dj < 0, находим min(Dj < 0) = Dк.

Хк включаем в число  базисных переменных.

Отыскиваем переменную исключаемую из базиса :

находим min(H/Gj) = H2/G2 (для всех Gj > 0);

Х5 исключаем из числа  базисных переменных.

Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.

Возвращаемся в пункт 1.

 

Опорный план первой симплексной  таблицы.

X=(0, 0, 0, 0, 126, 84, 75)

Этот опорный план отражает производство, при котором  ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.

В строке оценочных коэффициентов  имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Например, число –26 означает, что включение в план производства единицы изделий первого вида позволит увеличить прибыль на 26 денежных единиц. Наиболее выгодным в данной задаче  будет внедрение в производство второго вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 35 денежных единиц. Поэтому x2 становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором буде объём сырья второго вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 25.

 

Опорный план второй симплексной  таблицы.

X=(0, 126/5, 0, 0, 0, 84, 249/5)

Стоимость продукции  при таком плане производства z=882 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции. Например, число 4/5 показывает, на сколько единиц надо уменьшить выпуск второй продукции, чтобы внедрить в производство одну единицу четвёртой продукции.

Прирост прибыли при  внедрении одной единицы первого  вида продукции составит  12 денежных единиц.

И, наконец, по этой таблице  определяем, что наибольший прирост  прибыли принесёт первый вид продукции. При исключении из базиса x6 неиспользованный второй ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

 

Опорный план третьей  симплексной таблицы.

X=(28, 14, 0, 0, 0, 0, 5)

При данном плане производства достигается прибыль в размере 1218 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой  продукции.

Все  Dj ³ 0 следовательно, план оптимален.

Выводы.

Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х1=28, Х2=14, Х3=0, Х4=0, или Х=(28,14,0,0).

Максимальная прибыль  равна Zmax=1218.

Использование ресурсов:

     1-й и  2-ий ресурс используется полностью  (Х5=0,Х6=0), а 3-ый ресурс имеет   остаток Х7=7 единиц.

При выполнении производственной программы 1-й и 2-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют  “узкие места производства”.

 

СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ  ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ.

 

Пусть для выпуска  продукции требуется некоторые  затраты в определённых пропорциях. Пусть a = 1, b = 2, g=1, d=3, тогда: 2x1 = x3, а 3х2 = х4.

Исходя из полученных данных получаем, что математическая модель производственной задачи с учётом полученных пропорций примет вид:

 

P(x)=62x1 + 125x2®max

   4x1 + 17x2 £ 126

    x1 + 6x2 £ 84

   10x1 +x2 £ 75

     x1 ³ 0, x2 ³ 0

Полученную задачу можно  решить графически.

Решение задачи приведено  на Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р0(x)=62* x1 +125* x2

X2 =-62/125* x1 – критерий оптимальности.

А=IIÇIÞ    4* x1+17* x2=126Þx2 =(84-17* x1)/6Þ44* x1 =112Þx1 =2,54Þ x2 =6,78

          17* x1 +6* x2 =84       

Решение задачи находится  в точке А с координатами x1 = 2,54, x2 = 6,78, откуда оптимальный план производства: x1 = 2,54, x2 = 6,78, x3 =5,09 , x4 = 20,36, а максимальная прибыль составит P(x)max = 62*2,54+125*6,78=1004,98

ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ  ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ.

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей  паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:.

1. каждому неравенству-ограничению исходной задачи ставим в соответствие переменную двойственной задачи (у), принимающую неотрицательные значения;
2. транспонируем матрицу коэффициентов при неизвестных;
3. правые части ограничений заменяем коэффициентами целевой функции;
4. меняем направление неравенств;
5. коэффициенты целевой функции заменяем правыми частями ограничений;
6. то максимизации целевой функции переходим к минимизации.