Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Марта 2013 в 23:52, контрольная работа
Формулировка линейной производственной задачи:
Фирма «Экомебель» выпускает 4 вида продукции: х1 - столы, х2 – шкафы, х3 – тумбы, х4 – стулья. При этом фирма располагает 3 видами ресурсов: 126 т. – досок, 84 т. – шурупов, 75 т. - лака
Требуется составить такой план выпуска изделий х1, х2, х3, х4 , при котором мы уложимся в имеющиеся ресурсы и суммарная прибыль от реализации изготовленных по плану изделий будет максимальна.
P= 26*x1+35*x2+18*x3+30*x4-->max
2*x1+5*x2+1*x3+4*x4<=126
3*x1+0*x2+7*x3+2*x4<=84
2*x1+1*x2+4*x3+0*x4<=75
x1,x2,x3,x4>=0
Симплексная таблица N 3
Сб |
Xб |
Н |
26 |
35 |
18 |
30 |
0 |
0 |
0 |
α | |
1 |
35 |
Х2 |
14 |
0 |
1 |
-11/5 |
8/15 |
1/5 |
-2/15 |
0 |
|
2 |
26 |
Х1 |
28 |
1 |
0 |
7/3 |
2/3 |
0 |
1/3 |
0 |
|
3 |
0 |
Х7 |
5 |
0 |
0 |
1/15 |
-28/15 |
-1/5 |
-8/15 |
1 |
|
4 |
– |
– |
1218 |
0 |
0 |
17 |
6 |
7 |
4 |
0 |
Исходная задача: x1= 28;x2= 14;x3=0;x4=0;x5=0;x6=0;x7= 5;
Двойственная задача: y1=7; y2=4; y3=0 Заметим, что данное решение содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Экстремумы целевых функций исходной и двойственной задач равны 1218.00.Решение одной из пары двойственных задач можно найти, зная только ответ к другой задаче и пользуясь 2-й теоремой двойственности: если i-е ограничение одной из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть строгое неравенство, то оптимальное значение i-й переменной другой задачи равно 0, или, что то же самое - если оптимальное значение j-й переменной одной задачи строго положительно, то j-е ограничение другой из пары двойственных задач на компонентах оптимального решения есть равенство.
Экономический смысл полученных результатов.
Смысл двойственных оценок ресурсов у1=7, у2=4, у3=0 показывает, что добавление одной единицы 1-го (2-го;3-го) ресурса обеспечит прирост прибыли на 7 (4, 0) денежных единиц.
При выполнении оптимальной производственной программ первый и второй ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. T=(t1, t2, 0) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.
Итак, необходимо составить план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.
Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:
Q (B + T) ³ 0 Û Q B + Q T ³ 0 Û H + Q T ³0
Итак задача состоит в том, чтобы найти вектор T=(t1, t2, t3) такой, что
w = у1t1 + y2t2 + y3t3 ® max ,
где w – суммарный прирост прибыли, при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и следовательно структуры производственной программы)
H = Q T ³ 0.
Подставив соответствующие значения,
получим требуемую
w=7t1+ 4t2 ® max (1)
14 1/5 -2/15 0 t1 0
28 + 0 1/3 0 * t2 ³ 0
5 -1/5 -8/15 1 0 0
предполагая, что дополнительно можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса каждого вида, то есть
t1 126
t2 £ 1/3 84
0 75
причём по смыслу задачи t1 ³ 0, t2 ³ 0. Перепишем неравенства в другом виде. Получим:
w=7t1 + 4t2 ® max
14 + 1/5t1 – 2/15t2 ³ 0 -1/5t1 + 2/15t2 £ 14 t2£3/2t1+105
28 + 1/3t2 ³ 0 Þ -1/3t2 £ 28 Þ t2³-84
5 – 1/5t1 - 8/15t2 ³ 0 1/5t1 + 8/15t2 £ 5 t2£-3/8t1+75/8
t1 £ 42, t2 £ 28 t1 £ 42, t2 £ 28 t1 £ 42, t2 £ 28
Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2
По графику на рисунке 2 видно, что решение данной задачи находится в точке А(25;0). Таким образом программа «Расшивки узких мест производства» имеет вид: t1=25, t2=0, t3=0 и прирост прибыли составит w= 7*25 + 9*0 = 175
Транспортная задача
формулируется следующим
2 5 1 4
С = 4 4 3 2 – матрица транспортных издержек
6 5 4 3
60
B= 50 -- вектор объёма ресурсов
70
A= (56; 35; 48; 30) -- вектор объёма потребления
В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем поставок равный 180 превышает суммарный объем потребления равный 169. Поэтому для решения задачи ведём дополнительно ещё одного потребителя, с потреблением равным 11.
Имеем:
по\пн |
56 |
35 |
48 |
30 |
Ф 11 |
Р |
60 |
2 2 56 0 |
5 5 4 0 |
4 1
3 |
3 4
1 |
0 0
0 |
P1=0 |
50 |
1 4
-3 |
4 4 31 0 |
3 3 19 0 |
2 2
0 |
-1 0
-1 |
P2=-1 |
70 |
2 6
-4 |
5 5
0 |
4 4 29 0 |
3 3 30 0 |
0 0 11 0 |
P3=0 |
q |
q1=2 |
q2=5 |
q3=4 |
q4=3 |
q5=0 |
Ĉij Cij xij Dij |
Cij-тарифная стоимость перевозки 1 единицы груза;
Ĉij-фактическая стоимость перевозки 1 единицы груза;
Dij-условие оптимальности;
рi-платежи за единицу груза в пункте отправления;
pj- платежи за единицу груза в пункте назначения
pi + qj = Cij
Для заполненных (базисных)клеток : Ĉij=Cij
Для пустых: Xij=0
Lопорная=56*2+4*5+31*4+19*3+
Проверка на оптимальность
Т.к. не все Dij £ 0, то мы еще не нашли оптимальное решение.
Далее выбираем пустую клетку таблицы с максимальной переплатой Dij³0.
Вней будет вершина цикла, а остальные должны быть в занятых клетках. Строим следующую таблицу.
по\пн |
56 |
35 |
48 |
30 |
Ф 11 |
Р |
60 |
2 2 56 0 |
2 5 4 -3 |
1 1 4 0 |
0 4
-4 |
-3 0
-3 |
P1=0 |
50 |
4 4
0 |
4 4 35 0 |
3 3 15 0 |
2 2
0 |
-1 0
-1 |
P2=2 |
70 |
5 6
-1 |
5 5
0 |
4 4 29 0 |
3 3 30 0 |
0 0 11 0 |
P3=3 |
q |
q1=2 |
q2=2 |
q3=1 |
q4=0 |
q5=-3 |
Итак, выполняется условие оптимальности: Dij £ 0, и мы получили оптимальный план затрат.
Lоптим.=56*2+4+35*4+15*3+29*4+
LD=519-507=12
Решение задачи планирования с учётом пропорций оказалось не целочисленным, следовательно следует решить задачу методом ветвей и границ, для нахождения целочисленных решений.
P(x) = x1 + 3x2®max
14x1 + 9x2 £ 51
-6x1 + 3x2 £ 1
x1 ³ 0, x2³ 0
решение:
x1 = 1.56, x2 = 3.45, P(x)max = 11.5
См. график на рисунке
P(x) = x1
+ 3x2®max
G1 = 14x1 + 9x2 £ 51 G2 = 14x1 + 9x2 £ 51
-6x1 + 3x2 £ 1 -6x1 + 3x2 £ 1
x1 £ 1 x1 ³ 2
Решение: x1 = 1; x2 =7/3
P1(x)max = 8
Т.к. P1(x)max >P2(x)max
То эта задача не подходит
P(x) = x1
+ 3x2®max
G3 = 14x1 + 9x2 £ 51 G4 = 14x1 + 9x2 £ 51
-6x1 + 3x2 £ 1 -6x1 + 3x2 £ 1
x1 ³ 2; x2 £ 2 x1 ³ 2; x2 ³ 3
P(x) = x1
+ 3x2®max
G5 = 14x1 + 9x2 £ 51 G6 = 14x1 + 9x2 £ 51
-6x1 + 3x2 £ 1 -6x1 + 3x2 £ 1
x1 =3; x2 =1 x1 =2; x2 =2
P5(x)max =6
Ответ: P(x)max = 8; x1 =2;x2 =2
Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.
Информация о работе Контрольная работа по "Прикладной математике"