СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 
 

 

Часть 1

    В аптечном складе установлены два  датчика предельно допустимой концентрации паров органических растворителей. Вероятность безотказной работы первого датчика равна , второго . Найти вероятность событий:

    1) сработает хотя бы один датчик;

    2) сработают оба датчика;

    Решение:

    Обозначим события:

    А - срабатывает первый датчик

    В -срабатывает второй датчик

    По  условию, обозначения: вероятность  события А- Р₁, события В - Р₂,

    

    

    

    

    События А, В -  независимы. Это означает, что  появление одного события не влияет на появление другого события. Событие  1) «а» "сработает хотя бы один датчик" есть событие, обратное к событию: "ни один датчик не сработает". Последнее событие есть произведение событий:

    

    Так как события А и В независимы, то и события, обратные к ним независимы. Поэтому можем применить теорему  умножения вероятностей независимых  событий:

    Так как события независимы внутри каждого произведения, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий:

    

    

    событие 2 – «б» - "сработают оба датчика" есть произведение независимых событий:

    

    События А и В независимы, поэтому:

    

    Ответ: вероятность события 1)

    события 2)

Часть 2

Задача  1

    В клетке n₁ белых и n₂ серых мышей. Случайным образом извлекают трех мышей. Вычислить вероятность для четырех возможных комбинаций цвета мышей:

    а)

    б)

    в)

    г)

    Решение.

    Обозначим события:

    А - из первого ящика вынули белый шар. Тогда событие - из первого ящика вынули черный шар.

    В - из второго ящика вынули черный шар. Тогда событие  - из второго ящика вынули черный шар. Найдем вероятности событий А и В, а также обратные вероятности: 

       

    

    

    Пусть событие А - вытащили из ящика белую мышь. Пусть событие В - из ящика вытащили серую мышь. Пока эксперимент не начался (то есть пока мышей из ящика не извлекали) события А и В в нашем случае равновероятны.

    События А и В зависимы друг от друга, то есть наступление вероятности события А изменяет вероятность события В и наоборот.

    Когда идет эксперимент, то есть когда мышей  извлекают, вероятности А и В  уже не будут равновероятны, потому будем искать условные вероятности  событий А и В при условии  наступления событий ранее.

    Запишем формулу вероятности по теореме  умножения вероятностей зависимых  событий.

     - условная вероятность события  А при условии, что событие  А один раз уже произошло,  -  условная вероятность события А при условии, что событие А два раза уже произошло.

    Аналогично  рассуждая найдем остальные вероятности:

    Ответ: вероятности равны соответственно: , , , .

Задача 2

      В первой коробке n ампул, из  них n₁ стандартных, во второй m ампул, из них m₁ стандартных. Из первой коробки взята наудачу ампула и переложена во вторую коробку. Найти вероятность того, что ампула, наудачу извлеченная из второй коробки, будет стандартной.

    Решение. Исходные данные:

      

       

    Обозначим события-гипотезы.

     - из первой коробки во вторую  переложена стандартная лампа.

     - из первой коробки во вторую  переложена нестандартная лампа.

    События и образуют полную группу событий:

    

       

    Обозначим событие А - ампула, извлеченная наудачу  из второй коробки - стандартна. Применим формулу полной вероятности для  нахождения вероятности события А:

    

       

     - условная вероятность того, что из А извлекут стандартную  лампу при условии, что во  вторую коробку переложена стандартная  лампа.

     - условная вероятность того, что из А извлекут стандартную  лампу при условии, что во  вторую коробку переложена нестандартная лампа.

    

    Ответ: вероятность того, что из второй коробки будет извлечена стандартная  лампа равна: .

Часть 3

    По  данным n=100 наблюдений, приведенных  в таблицах (вариационных рядах), где  в первой строке записаны возможные  значения х_i случайной величины Х, а во второй - число их появлений, то есть частоты, требуется:

    1. Вычислить значения выборочного  среднего  , выборочной дисперсии выборочного среднего квадратического отклонения s случайной величины Х.

    2. Полагая, что обследуемый признак  Х распределено нормально с  параметрами   , S вычислить вероятности попадания случайной величиных Х в интервалы:

    

    

    3. Определить границы интервала  в который случайная величина Х попадает с вероятностью 0,96.

    

 

 

Решение.

Найдем выборочную дисперсию:

    выборочная  дисперсия является смещенной оценкой  генеральной дисперсии. Найдем исправленную дисперсию, являющеся несмещенной  оценкой генеральной дисперсии:

    

    Исправленное  среднеквадратическое отклонение найдем как корень квадратный из исправленной дисперсии:

    

    2. Вероятность попадания в заданный  интервал нормальной случайной  величины оценивается значением:

    

    где - параметры распределения и

      Ф(х) - интегральная функция Лапласа:

    

    функция Ф(х) - нечетна:

    В нашем случае параметры распределения: , поэтому формула попадания случайной величины в интервал есть:

    

    Зададим границы интервала для интервала:

    

    

    

    

    

    Для того, чтобы найти вероятность  отклонения применим формулу:

    

    Перепишем формулу для наших параметров распределения и заданного отклонения:

    3. Определить границы интервала  в который случайная величина Х попадает с вероятностью 0,96.

    Также применим формулу вероятности отклонения значения случайной величины от математического  ожидания:

    

    

       

    Найдем величину по таблице значений функции Лапласа

    

    Искомые границы интервала:

    

Часть 4

    Оценка  неизвестного математического ожидания по известному среднему х при малом  числе опытов. (Доверительная вероятность 0.99)

    Дано: в контрольном исследовании продолжительности гексеналового наркоза n=10 мышей были получены следующие продолжительности наркоза в минутах:

    

    Найдем  среднюю выборочную:

    

    Найдем  выборочную дисперсию:

    

    

    Найдем  исправленное среднеквадратическое отклонение:

    

    Воспользуемся формулой оценки математического ожидания при небольших n и неизвестном среднеквадратическом отклонении:

    

    Найдем  . Пользуясь таблицей приложения 3, по заданному g=0.99 и n=10 находим

    

    Найдем  доверительные границы:

    

    

    Итак, с надежностью 0,99 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале

    

Часть 5

    Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным n=8 наблюдений:

    Решение:

    a) найдем уравнение линейной регрессии  y на x в виде y=ax+b, где а и b - коэффициенты  линейной регрессии.

    Найдем  выборочный коэффицент корреляции:

    

    где , - статистические оценки (среднеквадратические отклонения)

       

    

    коэффициент корреляции, показатель ковариации

    Здесь , - средние выборочные, которые находятся по формуле арифметической средней:

       

    Для облегчения расчетов составим расчетную  таблицу и по ней найдем данные по формулам, приведенным выше:

    

 

    Из  таблицы видно, что