Контрольная работа по "Вычислительной математике"

сложением уравнений со вторым, умноженным соответственно на

 

1,552	0,432	-0,599	0,202	1,941
0,000	1,496	0,510	-0,625	-0,483
0,000	0,000	1,195	0,664	-1,073
0,000	0,000	0,614	1,195	-0,542

сложением 4-го уравнения с третьим, умноженным соответственно на

 

1,552	0,432	-0,599	0,202	1,941
0,000	1,496	0,510	-0,625	-0,483
0,000	0,000	1,195	0,664	-1,073
0,000	0,000	0,000	0,854	0,009

 

Т.о. получаем, что:

Т.е.

 

2. Метод Якоби c точностью e=10^-3.

 

 

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули, E — единичная матрица. Тогда процедура нахождения решения имеет вид:

где k счётчик итерации. Условие окончания итерационного процесса при достижении заданной точности имеет вид:

 

 

Итак, матрица D

1,552	0	0	0
0	1,552	0	0
0	0	1,552	0
0	0	0	1,552

Матрица

 

 

 

0,644	0,000	0,000	0,000
0,000	0,644	0,000	0,000
0,000	0,000	0,644	0,000
0,000	0,000	0,000	0,644

 

Матрица

0	-0,432	0,599	-0,202
-0,202	0	-0,432	0,599
0,599	-0,202	0	-0,432
-0,432	0,599	-0,202	0

Матрица:

0,000	-0,278	0,386	-0,130
-0,130	0,000	-0,278	0,386
0,386	-0,130	0,000	-0,278
-0,278	0,386	-0,130	0,000

Вектор 

1,251

-0,148

-1,251

0,148

А далее переходим  к итерациям:

 

 

Шаг	Xk	BX+g	Xk+1	погрешность
1	1,000	-0,386	0,865
	0,000	0,148	0,000
	-1,000	0,386	-0,865
	0,000	-0,148	0,000
2	0,865	-0,334	0,917	0,135
	0,000	0,128	-0,020	0,000
	-0,865	0,334	-0,917	-0,135
	0,000	-0,128	0,020	0,000
Шаг	Xk	BX+g	Xk+1	погрешность
3	0,917	-0,351	0,900	-0,052
	-0,020	0,144	-0,005	0,020
	-0,917	0,351	-0,900	0,052
	0,020	-0,144	0,005	-0,020
4	0,900	-0,347	0,904	0,017
	-0,005	0,135	-0,013	-0,015
	-0,900	0,347	-0,904	-0,017
	0,005	-0,135	0,013	0,015
5	0,904	-0,347	0,904	-0,004
	-0,013	0,139	-0,009	0,009
	-0,904	0,347	-0,904	0,004
	0,013	-0,139	0,009	-0,009
6	0,904	-0,347	0,903	0,000
	-0,009	0,137	-0,011	-0,004
	-0,904	0,347	-0,903	0,000
	0,009	-0,137	0,011	0,004
7	0,903	-0,347	0,904	0,000
	-0,011	0,138	-0,010	0,002
	-0,903	0,347	-0,904	0,000
	0,011	-0,138	0,010	-0,002
8	0,904	-0,347	0,903	0,000
	-0,010	0,138	-0,010	-0,001
	-0,904	0,347	-0,903	0,000
	0,010	-0,138	0,010	0,001
9	0,903	-0,3471	0,904	0,000
	-0,010	0,1379	-0,010	0,000
	-0,903	0,3471	-0,904	0,000
	0,010	-0,1379	0,010	0,000

 

Т.о.

	X10
X1	0,904
X2	-0,010
X3	-0,904
X4	0,010

Или:

 

ОТВЕТ:

 

Задание №5 (исправлено)

Тема. Интерполяционный многочлен.

Задание: Для заданной функции  y=f(x) на [a, b] построить интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) (n=5) и интерполяционный многочлен Ньютона  P_n(x) (n=7) для равноотстоящих узлов. Построить графики функции и многочленов.

Номер варианта	f(x)	a	b
21		-1	4

 

РЕШЕНИЕ:

1. построить интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) (n=5)

n	a	b
5	-1	4
H=
1

 

Номер шага	0	1	2	3	4	5
x	-1	0	1	2	3	4
y=	-0,33333	0	0,333333	0,222222	0,157895	0,121212

 

Коэффициенты:

Интерполяционная  формула Лагранжа позволяет представить  многочлен  в виде линейной комбинации значений функции в узлах интерполирования

 (1.4)

Найдем явное  выражение для коэффициентов  . Из условий интерполирования (1.3) получаем

Эти соотношения  будут выполнены, если на функции  наложить условие

Они означают, что  каждая из функций  ,

 Имеет не  менее  нулей на . Поскольку многочлен степени , коэффициенты естественно искать также в виде многочлена степени , а именно в виде

Из условия  находим

Таким образом, коэффициенты интерполяционного многочлена (1.4) находятся по формулам

  (1.5)

Найдем  :

 

		-120
		24
		-12
		12
		-24
		120

 

Тогда:

 

Т.е.

Тогда получаем, что:

 

 

 

 

 

	0	1	2	3	4	5
x	-1	0	1	2	3	4
y	-0,333333	0	0,333333	0,222222	0,157895	0,121212
L	-0,333333	0	0,333333	0,222222	0,157895	0,121212

2. интерполяционный многочлен Ньютона  Pn(x) (n=7) для равноотстоящих узлов

n	a	b
7	-1	4
	H
	0,714285714

 

	0	1	2	3	4	5	6	7
x	-1,000	-0,286	0,429	1,143	1,857	2,571	3,286	4,000
y	-0,333	-0,246	0,313	0,316	0,235	0,181	0,145	0,121

Разделенными  разностями первого порядка называются отношения 

Рассмотрим  разделенные разности, составленные по соседним узлам, т.е. выражения . По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка.

Определение 1.3 Разделенными разностями второго порядка называются отношения

,

, …,

.

Аналогично  определяются разделенные разности более высокого порядка.

При вычислении разделенных разностей принято  записывать их в таблицы

			·
		·	·	…
·	·	·	·
·	·	·
·	·