Контрольная работа по "Вычислительной математике"

 

0,8416

 

Задание №9+

Тема: Численное решение задачи Коши для ОДУ первого порядка с помощью одношаговых и многошаговых разностных схем

Задание: Найти приближенные решения задачи Коши,

,

на  отрезке [0, 1] разбив отрезок на 10 частей, используя один из четырех методов:

Вариант	Метод
1, 5, 9, 13,17, 21, 25,29	простейший  метод Эйлера первого порядка  точности,

.

 

Варианты  индивидуальных заданий.

Номер варианта
21

РЕШЕНИЕ:

 

Метод Эйлера:

В нашем случае,

т.к. по условию отрезок [0, 1] разбивается на 10 частей.

Начальные условия  заданы:

 

 

шаг
0	0,00	0,00	1,00
1	0,10	0,10	1,00
2	0,20	0,20	0,96
3	0,30	0,30	0,88
4	0,40	0,38	0,76
5	0,50	0,46	0,62
6	0,60	0,52	0,46
7	0,70	0,57	0,30
8	0,80	0,60	0,15

Т.о.

Решение можно  представить в таблице:

	(x)
0,00	0,00
0,10	0,10
0,20	0,20
0,30	0,30
0,40	0,38
0,50	0,46
0,60	0,52
0,70	0,57
0,80	0,60

 

Задание №10(переделано)

Тема: Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Задание: Найти приближенное решение двухточечной краевой задачи для линейного  дифференциального уравнения второго  порядка в самосопряженной форме:

на  отрезке [0, 2] с краевыми условиями первого рода (отрезок разбить на 10 частей):

 

Воспользоваться трехточечной разностной схемой второго  порядка аппроксимации. Для ее решения  применить метод прогонки. Вычисления вести с двумя знаками после запятой.

 

Варианты  индивидуальных заданий.

Номер варианта	k(x)	q(x)	m1	m2
21			-0.5	2

 

РЕШЕНИЕ:

Введем на отрезке [0,2] равномерную  сетку 

,

Где

Запишем трехточечную разностную схему  для краевой задачи в прогоночном  виде

 (9.5)

Или разностная схема второго порядка аппроксимации будет иметь вид:

где

Для решения этой системы  линейных уравнений можно применить  метод прогонки.

Прямой ход:

При этом, ,

Обратный ход:

При чем,

 

Т.о. получаем таблицу  значений Y (

 

i
0	0,00	1,00	2,04			-0,50
1	0,20	1,00	2,02	0,00	-0,50	-0,37
2	0,40	0,98	1,98	0,49	-0,25	-0,26
3	0,60	0,95	1,90	0,63	-0,16	-0,15
4	0,80	0,90	1,79	0,70	-0,12	-0,04
5	1,00	0,84	1,65	0,72	-0,09	0,07
6	1,20	0,76	1,48	0,72	-0,07	0,20
7	1,40	0,66	1,28	0,71	-0,06	0,37
8	1,60	0,55	1,05	0,68	-0,05	0,61
9	1,80	0,42	0,78	0,63	-0,04	1,04
10	2,00	0,28		0,54	-0,03	2,00
		Прямой ход				Обратный ход

 

Задание № 11+/-

 

Тема: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Задание: Используя метод сеток, составить  решение смешанной задачи для  дифференциального уравнения параболического  типа (уравнение теплопроводности) при заданных начальных условиях , , , где . Решение выполнить при h=0.1 для с четырьмя десятичными знаками.

 

Варианты индивидуальных заданий

№ варианта	f(x)	j(t)	y(t)
21	1.5-x+x2	1.5-3t	1.26

 

 

РЕШЕНИЕ:

Разобьем отрезок [0; 0,6]  на 6 частей с шагом xh=0.1 и введем шаг по времени ht=0,1t.

Начальный временной слой:

0	0,0000	0,0000
1	0,1000	0,1600
2	0,2000	0,3400
3	0,3000	0,5400
4	0,4000	0,7600
5	0,5000	1,0000
6	0,6000	1,2600

На концах отрезка  для любого слоя (краевые значения)

 

 

0	0,0000	1,5000
1	0,0001	1,4997
2	0,0002	1,4994
3	0,0003	1,4991
4	0,0004	1,4988
5	0,0005	1,4985
6	0,0006	1,4982
7	0,0007	1,4979
8	0,0008	1,4976
9	0,0009	1,4973
10	0,0010	1,4970

 

И

Вычислив оставшиеся  

Получим сетку  значений:

	j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
i	x\t	0	0,0001	0,0002	0,0003	0,0004	0,0005	0,0006	0,0007	0,0008	0,0009	0,001
0	0,0000	1,5000	1,4997	1,4994	1,4991	1,4988	1,4985	1,4982	1,4979	1,4976	1,4973	1,497
1	0,1000	0,1600	0,1752	0,1901	0,2047	0,2190	0,2330	0,2468	0,2603	0,2735	0,2864	0,2991
2	0,2000	0,3400	0,3402	0,3406	0,3410	0,3417	0,3424	0,3433	0,3443	0,3455	0,3467	0,3481
3	0,3000	0,5400	0,5402	0,5404	0,5406	0,5408	0,5410	0,5412	0,5414	0,5417	0,5419	0,5422
4	0,4000	0,7600	0,7602	0,7604	0,7606	0,7608	0,7610	0,7612	0,7614	0,7616	0,7618	0,7620
5	0,5000	1,0000	1,0002	1,0004	1,0006	1,0008	1,0010	1,0012	1,0014	1,0015	1,0017	1,0019
6	0,6000	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600	1,2600

 

 

Задание № 12+/-

 

Тема: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Задание: Используя метод сеток, составить  решение смешанной задачи для  уравнения колебания струны при заданных начальных условиях , (0≤x≤1) и краевыми условиями , . Решение выполнить при h=0.1 для с четырьмя десятичными знаками.

№ варианта
21				0

 

 

РЕШЕНИЕ:

Разобьем отрезок [0; 1]  на 10 частей с шагом xh=0.1 и введем шаг по времени ht=0,1t.

.

Начальный временной слой:

Кроме того,

Т.е. можно рассчитать и 

0	0,0000	0,0050	0,0000
1	0,1545	0,1666	0,1545
2	0,3527	0,3671	0,3527
3	0,5663	0,5832	0,5663
4	0,7608	0,7804	0,7608
5	0,9000	0,9225	0,9000
6	0,9511	0,9767	0,9511
7	0,8899	0,9188	0,8899
8	0,7053	0,7377	0,7053
9	0,4017	0,4378	0,4017
10	0,0000	0,0400	0,0000

 

На концах отрезка  для любого слоя (краевые значения)

 

0	0,0000	0,0000
1	0,0100	0,0050
2	0,0200	0,0100
3	0,0300	0,0150
4	0,0400	0,0200
5	0,0500	0,0250