Контрольная работа по высшей математике

1. Матрицы и действия с ними.

 Даны матрицы А и В. Найти: 1)Произведение матриц А·В=С и определитель матрицы С; 2) Найти обратную матрицу А^-1 для матрицы А. Сделать проверку.

9. , 

Решение:

1) Умножим по очереди строки матрицы А на столбцы матрицы В, получим

Находим определитель матрицы С:

Ответ: произведение матрицы ,

определитель матрицы 

2) Решение:

значит, существует обратная матрица  А^-1 для А.

Найдем А^т

Найдем алгебраические уравнения  :

;

;

;

;

;

;

;

;

Вычислим произведение

что показывает правильность полученного результата.

 

2. Система линейных  уравнений.

Дана система линейных уравнений

Решить систему тремя способами:

1. методом Крамера;
2. методом Гаусса;
3. средствами матричного исчисления

19.

Решение:

1. методом Крамера.

Вычисляем определители:

Так как  , то данная система имеет единственное решение.

Находим его по формуле Крамера:

; ; .

 

2. методом Гаусса

Выбирается ведущее уравнение  с коэффициентом при х₁, равным 1. Ведущее уравнение будет второе. Систему переписываем, поставив это уравнение на первое место.

Умножаем первое уравнение на 2 и вычитаем из полученного второе, чтобы исключить из второго неизвестное  х₁.

Первое уравнение записываем, а  на место второго – результат вычитания.

Затем первое уравнение умножим  на 4 и складываем с третьим уравнением.

Результат записываем на место третьего уравнения.

Или первое уравнение переписываем без изменения, а второе умножаем на 3 и вычитаем из него третье уравнение, умноженное на 3, чтобы избавиться от х₂, в третьем уравнении.

При этом второе записываем без изменения, на месте третьего – результат  вычитания. Тогда:

Из третьего следует х₃ = 4, подставим его во второе:

получим х₂ = 2. Далее подставим найденные х₂ и х₃ в первое уравнение, получим х₁:

Решение системы: х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 4.

 

3. матричный метод

Решение: Определим определитель матрицы  А

,

значит, существует обратная матрица  А^-1.

Найдем А^т:

;

;

;

;

;

;

;

;

Матрица-столбец при неизвестных:

Матрица-столбец из свободных членов:

Тогда решение запишется в виде:

.

Откуда следуем, что х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 4.

 

3. Элементы векторной  алгебры.

Даны четыре точки А₁(х₁; у₁; z₁), А₂(х₂; у₂; z₂), А₃(х₃; у₃; z₃), А₄(х₄; у₄; z₄)

– вершины пирамиды. Найти:

1. длину ребра А₁А₂;
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
3. площадь грани А₁А₂А₃;
4. объем пирамиды;
5. уравнение прямой А₁А₂;
6. уравнение плоскости А₁А₂А₃.

 

29. А₁(7;5; 3), А₂(9;4;4), А₃(4;5;7), А₄(7; 9; 6).

Решение:

1)

2)

 

Угол между векторами  .

3) Площадь треугольника определяется по формуле:

Найдем координате векторов и

Находим векторное произведение векторов:

Таким образом 

Площадь

4. решение: Найдем координаты векторов

Найдем смешанное произведение векторов:

Объем пирамиды:

 

5. найти уравнение прямой А₁А₂.

Решение: Используем общую формулу прямой, проходящей через две заданные точки,

подставив координаты точек, получаем:

 каноническое уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Вектор - направляющий вектор прямой.

 

6. найти уравнение плоскости А₁А₂А₃.

А₁(7;5; 3), А₂(9;4;4), А₃(4;5;7).

Уравнение плоскости  .

 

5.Предел функции

49. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) , здесь мы имеем с неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим

б) , здесь мы имеем неопределенность вида .

 

в)

 

г) сведем формулу ко второму замечательному пределу .