Контрольная работа по "Высшей математике"

 

Минский филиал государственного образовательного учреждения высшего  профессионального образования  «Московский  государственный университет  экономики, статистики и информатики (МЭСИ)»

Минский филиал МЭСИ

Кафедра математики и информатики             Индивидуальное задание по дисциплине «Математика»

Студент

Перельман Эдуард  Натанович

Группа № зачетки

Ф.И.О., № зачетки, группы

подпись

Дата

Руководитель

Ф.И.О.

подпись

Дата

Зарегистрировано  на кафедре

Ф.И.О.

Подпись

Дата

Минск  2011  г.

 

 

 

 

Вариант № 22

 

№1. Проверить совместность системы уравнений  и в случае совместности решить ее:

         а)  по формулам Крамера;

         б)  с помощью обратной матрицы  (матричным методом);

         в)  методом Гаусса.

 

 

По  теореме Кронекера-Капелли система  совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Для того, чтобы найти ранги матриц, нужно привести расширенную матрицу  к ступенчатому виду:

 

(	3	4	-2		11	)	1ст – 2ст	(	1	5	-1		7	)	~
	2	-1	-1		4				2	-1	-1		4		2ст – 1ст 2
	3	-2	4		11				3	-2	4		11		3ст – 1ст 3

 

 

 

(	1	5	-1		7	)	~ 3ст – 2ст	(	1	5	-1		7	)	~
	0	-11	1		-10				0	-11	1		-10		2ст – 3ст
	0	-17	7		-10				0	-6	6		0

 

 

 

 

(	1	5	-1		7	)	~ 2ст (-5) 3ст (-6)	(	1	5	-1		7	)	~
	0	-5	-5		-10				0	1	1		2		3ст – 2ст
	0	-6	6		0				0	1	-1		0

 

 

 

 

(	1	5	-1		7	)	~ 3ст (-2)	(	1	5	-1		7	)	= > ранг расширенной матрицы = 3, и ранг матр. коэффиц. =3, = > система совместна
	0	1	1		2				0	1	1		2
	0	0	-2		-2				0	0	1		1

 

 

 

 

 

 

а) Решим систему по формулам Крамера

 

∆ =	3	4	-2	= 3 ∙	-1	-1	- 4 ∙	2	-1	- 2∙	2	-1	=
	2	-1	-1
	3	-2	4		-2	4		3	4		3	-2

 

 

= 3 (-4 - 2) – 4 (8 + 3)  - 2 (-4 + 3) = -18 - 44 + 2 = -60

 

 

 

∆1 =	11	4	-2	=11 ∙	-1	-1	- 4 ∙	4	-1	- 2∙	4	-1	=
	4	-1	-1
	11	-2	4		-2	4		11	4		11	-2

 

 

 

= 11 (-4 - 2) – 4 (16 + 11)  - 2 (-8 + 11) = -66 – 108 - 6 = -180

 

 

 

∆2 =	3	11	-2	= 3 ∙	4	-1	-11 ∙	2	-1	- 2∙	2	4	=
	2	4	-1
	3	11	4		11	4		3	4		3	11

 

 

= 3 (16 + 11) – 11 (8 + 3)  - 2 (22 - 12) = 81 - 121 - 20 = -60

 

 

 

∆3 =	3	4	11	= 3 ∙	-1	4	- 4 ∙	2	4	+ 11	2	-1	=
	2	-1	4
	3	-2	11		-2	11		3	11		3	-2

 

 

= 3 (-11 + 8) – 4 (22 - 12)  +11 (-4 + 3) = -9 - 40 - 11 = -60

 

 

 

Х₁ = ₌ = 3;            Х₂ = ₌ = 1;        Х₃ = ₌ = 1   

 

 

 

Ответ: = (3, 1, 1)      (х₁ = 3; х₂ = 1; х₃ = 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Решим систему матричным методом

 

Систему можно записать и в матричном  виде: А * Х = В, где

 

  А = ( ) ,              Х = ( )      ,       В = (  ),   тогда Х = А^-1 В;

 

А^-1  =     А^*;     ∆ = -60 (см. пункт а)

А^* = ( )

 

А_ij =(-1)^{i + j}  m_ij;        m_ij – минор.

 

Найдем все  А_ij:        

 

А₁₁ = = (-4 – 2) = -6

 

 

А₁₂ = -  = - (8 + 3) = -11

 

 

А₁₃ = = (-4 + 3) = -1

 

 

А₂₁ = -  = - (16 – 4) = -12

 

А₂₂ = = (12 + 6) = 18

 

 

А₂₃ = -  = - (-6 – 12) = 18

 

 

А₃₁ = = (-4 – 2) = -6

 

 

А₃₂ = -  = - (-3 + 4) = -1

 

 

А₃₃ = = (-3 – 8) = -11

 

 

Тогда А^* имеет вид:

 

А^* = ( ) = >  А^-1  =       ( )

 

Тогда Х:

Х  =     ∙ ( ) ∙  () =

 

=     ∙ ( ) =  ∙  () = ()

 

 

Ответ: Х = (3, 1, 1)      (х₁ = 3; х₂ = 1; х₃ = 1)

 

 

 

 

в) Решим систему методом Гаусса

 

Для этого воспользуемся уже приведенной  расширенной матрицей системы, т.е.:

 

 

(	1	5	-1		7	)	= >
	0	1	1		2
	0	0	1		1

 

 

= >   Х₃ = 1;    Х₂ = 2 – 1 = 1 ;    Х₃ = 7 – 5 + 1 = 3

 

 

Ответ: Х = (3, 1, 1)  или    (х₁ = 3; х₂ = 1; х₃ = 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№2. Задача на экстремум (по условию задачи необходимо составить функцию и затем исследовать ее на экстремум).

Боковые стороны  и меньшее основание трапеции равны а. Определить ее большее основание b так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

Решение:                                                а

 

                                    а                                                          а

 

 

 

  

                                          b-а                   b                  b-а

                                           2                                         2

S =   (a + b)  h

 

h = √а² – ²                 для удобства заменим b на х    = >  

 

 

S =   (a + х)  √а² – ² =      (a + х) ∙  √4а² – х² + 2ха – а² =          

 

   (a + х) ∙  √3а² – х² + 2ах           

 

 

S₁ =    (√3а² – х² + 2ах  +    ) =       

 

 

= ∙ ( )  = ∙ (  ^{) =}  ∙ ( ^{) =}

 

 ∙ (  ^{) =      -} ∙ ( )

 

Теперь  проверим, как ведет себя производная  при переходе через критические  точки:

                                                                         +                               -                            

S¹

                              -а                    0                    а                    2а                3а                               = >     

                                                                                           

                                                                                                 max

= >      при  х = 2а  S имеет наибольшее значение, равное:

 

S =   (a + 2а) ∙   ⁼   ∙    =

 

Ответ:     b = 2а

№3.  Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 

а)

б)

в)

г)