РОССИЙСКАЯ  ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

     ИНСТИТУТ  ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ  « Финансы и кредит »

   К О Н Т Р О Л Ь Н А Я     Р А Б О Т А

По  предмету: Высшая Математика

 
 
 
 
 
 

Выполнил: Холбаев Ойбек Тошпулатович

Студент 1 курса

                1 семестр 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Фергана 2008 

     ЗАДАЧА 1. 

       В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды .

     Найдите:

     а) длину ребра ;  

     б) косинус угла между векторами и ;

     в) уравнение ребра _;

     г) уравнение грани  С₁; если А₁ (-2,2,2),В₁(1,-3.0), С₁(6,2,4), D₁(5,7,-1). 

     Решение. 

      а) Найдем координаты вектора А₁В₁ по формуле

       где  - координаты точки А₁, -координаты точки В₁.

     Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = = .

     Итак, длина отрезка, (или длина векторе ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

     б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

     Угол  между векторами  и вычислим по формуле

      cos φ =        (А₁В₁, А₁С₁)

       |А₁В₁|·| А₁С₁|

      где скалярое произведение векторов А₁В₁ и А₁С₁ равно ( , )=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

     | |= , | |= = .

      Итак, cos φ =      20 =       10

                    ·  

     в) Координаты точки А₁(-2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = -2, У₀ = 2, Z₀ = 2, а координаты точки В₁(1,-3,0) через X₁ = 1, У₁ = -3, Z₁ = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

      .

     Следовательно, уравнение ребра имеет вид 

      .

     г) Обозначим координаты векторов , и через Х₁=3, У₁= -5, Z₁= -2 и Х₂=8, У₂= 0, Z₂=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

      ·A₁C₁ = {Y₁·Z₂-Y₂·Z₁;Z₁·X₂-Z₂·X₁;X₁·Y₂-X₂·Y₂} =

     = {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

     Так как данный вектор перпендикулярен грани С₁, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х₀ У₀, Z₀) перпендикулярно вектору {А;В;С}, которое имеет вид A·(X-X₀)+B·(Y-Y₀)+С·(Z-Z₀)=0.

     Подставим координаты точки А₁ (Хо= -2, У₀=2, Z₀=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

     - 10 ( X + 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани ,C₁ имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0. 

 

     ЗАДАЧА 2. 

     Решите  систему линейных уравнений

       а) методом Крамера;

       б) методом Гаусса; 

       

     Решение.

     а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

       

     Решение.

     а) Решим данную систему уравнений  с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268). 

     Тогда , где

     

     Так как  Δx= -60; Δy= -60; Δz=60; Δ= -120, то x= ; y= ; z= .

     6) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

     Составим расширенную матрицу данной системы.

       
 
 

     Поменяем  местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу. 

       
 
 

     Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.

       

     =   

     Умножим каждый элемент первой строки матрицы  на -3. и прибавим полученные числа  к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

     

     =    
 

     Разделим  каждый элемент второй строки матрицы  на 4, чтобы второй элемент, стоящий  на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

       
 
 
 

     Умножим каждый элемент второй строки матрицы  на -8 и прибавим полученные числа  к соответствующим элементам третьей строки:

     

       

     Данная  матрица соответствует системе  уравнений  , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начинай с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

     Действительно, так как z= = и y z= , то y ·

     Отсюда, y - = = = . Из x-z=1 имеем =z+1= +1=

     Ответ: x= , y= , z= . 

     Элементы теории вероятности и математической статистики

     Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1—5.

 

     ЗАДАЧА 3. 

     На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

     А) нет упаковок с бумагой более низкого качества,

     Б) есть одна упаковка такой бумаги. 

     Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть 

      = = = =13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3.

     а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

      = = = =11·23·8=2024

     искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

     P₁= = ≈0,62

     б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: = = = =276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: = = =4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно · =276·4=1104

     Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов p₂= = ≈0,34

     Ответ: а) p₁ =0,62; б) р₂ =0,34. 

     ЗАДАЧА 4. 

     Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной? 

     Решение: Обозначим через А событие - «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H₁-лампочка поступила с первого завода, H₂-лампочка поступила со второго завода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно p(H₁)= =0,25; p(H₂)= =0,75.

     Условная  вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – p(A/H₁)= =0,05, вторым заводом - p(A/H₂)= =0,10 искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности

     р(А) = P(H₁)· p(A/H₁)+P(H₂)·(A/H₂)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

     Ответ: р(А) = 0,0875.

     Для решения задачи 5 см. [5]глава 6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава 8 § J—3. 

     ЗАДАЧА 5. 

     Задан закон распределения дискретной случайной величены X: