Контрольная работа по "Высшей Математике"

 

     Найти:

     а) неизвестную вероятность р.

     б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величены; 

     Решение:

     а) так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение

     0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

     Отсюда  р+0,9 = 1 и р=0,1.

     б) Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

     М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5. 

      Дисперсия D=∑(x₁)²·p₁-M²=

     

     =(-4)·0.05+(-2)²·0,1+0²·0,12+2²·0,23+4²·0,32+6²·0,14+8²·0,04-(2,5)²=

     =0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

     Среднее квадратическое отклонение σ = = ≈2,9 
 

     ЗАДАЧА 6.

     Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств 

      x₁-x₂ ≥ - 2;

     x₁-3x₂ ≥ - 10,

     x₁+2 x₂ ≥4,

     x₁ ≤8,

     x₂≥0. 

     Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы

     L=2x₁+x₂

     Решение. Построим прямоугольную систему  координат x₁Ox_2. Если в этой системе построить прямую ax₁ + bx₂ = c, то она разобьет плоскость x₁Ох₂ на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах₁+bx₂≤c, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости,— неравенству. ах₁+bx_2≥c. Построим в плоскости x₁Ox₂ граничные прямые x₁-x₂=-2(AB), x₁-3x₂=-10(BC), x₁+2 x₂=4(AE), x₁=8(CD) и x₂=0(ED).

     В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 12). Значения x₁ и x₂, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.

     

     _x2

     

     

     

     E

     

       D х₁

     

      ₀

     

     Рис. 1

      Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения x₁ и x₂, при которых линейная форма, L (2) имеет минимум, и те значения x₁ и х₂, при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 1 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения x₁ и х₂ больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости x₁Ox₂ линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает значение L₁, есть прямая 2x₁+х₂=L₁(l₁), которая перпендикулярна вектору N = 2i+j. Если прямую l₁ передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора N, то линейная форма L будет возрастать, а если прямую передвигать в противоположном направлении — убывать. Построим прямую (l₁) для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую 2x₁+х₂=0. Как видно из рис. 1 , при передвижении прямой l₁ в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольника ABCDE. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. Следовательно, L_min=2·0+1·2=2, При дальнейшем передвижении прямой l₁ параллельно самой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы L будет возрастать, и оно достигнет максимального значения в точке С(8; 6). Таким образом, Lmax=2·8+1·6=22.