Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа №3

           1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 во вторник, 100 в среду, 100 в четверг и 100 в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А=«автомобиль был выпущен в пятницу» и В=«автомобиль имеет серьезные неполадки» независимыми? Сравнить вероятности Р(В) и Р(В/А).

Решение.

События являются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого и при этом соблюдается равенство:

Вероятность события А:

Вероятность события В:

Вероятность события В/А:

Т. к. , то события А и В являются зависимыми

 

           2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание «альфа», должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз «альфа». Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)?

Решение.

Т. к. вероятность того, что больной должен сделать операцию , то

           3. Банк  предполагает разместить свободные  средства. Менеджер отдела инвестиций  должен выбрать один из трех  инвестиционных проектов: А, В или С.  Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта

       1) Построить график  функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.

       2)Найти вероятность  того, что инвестиция окажется  убыточной или не принесет  никакого дохода.

 

Х	-500	-200	200	600	900
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

 

У	-100	100	200	300	500
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

 

Z	-500	-200	200	600	900
р	0.015	0.035	0.9	0.035	0.015

 

Решение.

Определим наиболее эффективный вариант инвестирования, для чего по каждому проекту найдем математическое ожидание как среднюю величину, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации

Проект А

Математическое ожидание (средняя величина)

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Проект В

Математическое ожидание (средняя величина)

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Проект С

Математическое ожидание (средняя величина)

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Т. к. у проекта В коэффициент вариации меньше, то с точки зрения вложения инвестиций, он является наиболее эффективным

График F(y)

Убыточность или не принесение дохода проектом будет определяться неположительным значением возможной прибыли при определенной вероятности, в данном случае

 

           4. Считая, что Х – нормально распределенная  случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-2<X<3).

Решение.

В общем виде плотность распределения нормально распределенной случайной величины задается формулой

 

Контрольная работа №4

16. Для кормления животных требуется  составить суточный рацион, обладающий  определенной питательностью, а  именно он должен содержать не менее 10 единицы микроэлементов, не менее 8 кормовых единиц и не более 24 единиц биостимуляторов. Вещества, входящие в рацион, не могут быть получены в чистом виде. Они содержатся в комбикормах двух видов 1 и 2. Известно, что в килограмме комбикорма каждого вида содержится соответственно единиц каждого питательного вещества. Кроме того, известна себестоимость одного килограмма комбикорма каждого вида.

Виды питательных веществ	Виды комбикормов		Норма питательных веществ
	1	2
Микроэлементы	3	2	10
Корм. единицы	1	3	8
Биостимуляторы	3	4	24
Себестоимость	3	2

 

Требуется определить, сколько килограммов каждого вида нужно взять для составления суточного рациона, чтобы он удовлетворял условиям питательности и имел бы наименьшую себестоимость.

Решение.

Прямая оптимизационная задача имеет вид:

Используем метод искусственного базиса

Вводим базисные переменные

Составляем симплекс-таблицу

	0	3	2	M	M	M
Базис	X0	X1	X2	Z1	Z2	Z3
Z1	10	3	2	1	0	0
Z2	8	1	3	0	1	0
Z3	-24	-3	-4	0	0	1
f	-6M	M-3	M-2	0	0	0

 

Т. к. М-3>0 при М>>1, то выведем из базиса Z1 и введем Х1

	0	3	2	M	M	M
Базис	X0	X1	X2	Z1	Z2	Z3
Х1	10/3	1	2/3	1/3	0	0
Z2	14/3	0	7/3	-1/3	1	0
Z3	-14	0	-2	1	0	1
f	-(28/3)M+10	0	(1/3)М	-(1/3)М+1	0	0

 

Т. к. (1/3)М>0 при М>>1, то выведем из базиса Z2 и введем Х2

	0	3	2	M	M	M
Базис	X0	X1	X2	Z1	Z2	Z3
Х1	2	1	0	3/7	-2/7	0
Х2	2	0	1	-1/7	3/7	0
Z3	-10	0	0	5/7	6/7	1
f	-10M+10	0	0	-(3/7)М+1	-(1/7)М	0

 

Т. к. в индексной строке все элементы неположительные, то расширенная задача решена и получен ее оптимальный план, но он содержит отличные от нуля значения искусственных неизвестных Z3=-10. Следовательно, исходная основная задача вообще не имеет ни одного плана, а значит не имеет и оптимального плана.

 

36. Решить транспортную задачу. Заданы мощности поставщиков  , емкости потребителей и матрица ( ) стоимостей перевозок единицы продукции от каждого поставщика каждому потребителю. Требуется найти план перевозок, при котором суммарные транспортные затраты будут наименьшими.

	9	31	20
20	3	9	8
14	4	6	7
12	2	4	5

 

Решение.

	В1	В2	В3	наличие
А1	3	9	8	20
А2	4	6	7	14
А3	2	4	5	12
потребности	9	31	20	60;46

 

Т. к. объем потребления превышает объем поставок, то введем дополнительно объект поставок объемом 14 единиц и нулевыми затратами

	В1	В2	В3	наличие
А1	3 -	9 -	8 20	20
А2	4 -	6 14	7 -	14
А3	2 9	4 3	5 -	12
А4	0 -	0 14	0 -	14
потребности	9	31	20	60