Лекции по "Математике"

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

 

 

Лекция 1. Определители и  матрицы	2
Лекция 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения	7
Лекция 3. Однородные системы  линейных уравнений	12
Контрольные вопросы	17

 

 

 Лекция 1

Определители  и матрицы

 

Контрольные вопросы:

1. Определители. Правила вычисления  определителей.

2. Свойства определителей п-го порядка.

3. Матрицы. Виды матриц.

4. Действия с матрицами.

5. Ранг матрицы. Методы вычисления  ранга матрицы.

6. Алгоритм вычисления обратной  матрицы.

 

1. Определителем (или детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Рассмотрим определитель n-го порядка:

.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на .

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определитель n-го порядка может быть вычислен с помощью разложения по элементам i-й строки (или j-го столбца):

(разложение определителя  по элементам i-й строки),

(разложение определителя  по элементам j-го столбца).

Определителем второго порядка называется число, равное

.

Определителем третьего порядка называется число, равное

.

2. Свойства определителей п-го порядка:

1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

2⁰. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3⁰. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4⁰. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

5⁰. Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6⁰. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

7⁰. Если каждый элемент п-го столбца (п-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из названных слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

3. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

.

 

Матрица размера  называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается или det A.

Матрица Е с элементами называется единичной матрицей n-го порядка.

Матрица называется обратной к матрице ( ), если

     (1)

Элементы  обратной матрицы вычисляются по формулам

     (2)

где - алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы.

4. Действия с матрицами.

1. Суммой матриц  и одинакового размера называется матрица того же размера, причем , , .

2. Произведением матрицы на число λ называется матрица того же размера, что и матрица А, причем .

3.Произведением   матриц А и В (размеров и соответственно) называется матрица С размера , такая, что

   (3)

(поэлементное умножение i-й строки матрицы А на k-й столбец матрицы В).

4. Транспонированной  к матрице  называется матрица такая, что , , .

Матрица называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Например,

.

Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований:

1) перестановки столбцов (строк);

2) умножения элементов столбца  (строки) на число, отличное от нуля;

3) прибавления к элементам какого-либо  столбца (строки) соответствующих  элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, получаемые в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: ~ .

5. Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A) = r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих  миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1. Найти какой-нибудь минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля; если такого минора нет, то матрица А нулевая и ее ранг   r(A) = 0.

2. Вычислять миноры второго порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁), до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ее ранг r(A) = 1; если есть, то . И т.д.

…

k. Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет или они равны нулю, то , если есть  хотя бы один минор , то и процесс вычисления продолжается.

При нахождении ранга  матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор  k-го порядка, причем искать его необходимо только среди  миноров, содержащих минор 

Пример 1. Найти ранг  матрицы

.

Решение.

Приведем матрицу _{А к каноническому виду} путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим

А~

.

Умножим элементы первого  столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:

 

А~

~ .

Из элементов третьей  строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:

 

А~

~ .

Таким образом, ранг матрицы А равен 2.

 

Пример 2. Найти ранг  матрицы методом окаймляющих миноров.

.

Решение.

Рассмотрим  минор первого порядка  , следовательно, ранг матрицы .

Далее рассмотрим минор второго  порядка: , т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то  . Найдем значение минора третьего порядка:

, следовательно, ранг матрицы  равен 3, т.е.  .

6. Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной  матрицы. Если  = 0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу  , транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения  элементов транспонированной матрицы  , , и составить из них присоединенную матрицу : , , .

4. Вычислить обратную матрицу  по формуле: .

5. Проверить правильность вычисления  обратной матрицы  , исходя из ее определения: .

Вычисление обратной матрицы  методом Гаусса:

1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

2) путем преобразований методом  Гаусса над строками расширенной  матрицы (А | E) матрица А приводится к единичной матрице;

3) в результате вычислительного процесса на месте приписанной справа матрицы Е получится обратная матрица .

Схематично процесс  нахождения обратной матрицы выглядит следующим образом: (А | E) (E | ).

Пример 3. Найти обратную матрицу методом Гаусса для .

Решение.

1.Составим расширенную  матрицу  .

2. Элементы первой  строки умножим на (- 3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу .

3. Итак, обратная матрица  имеет вид .

 

 

Лекция 2

Системы линейных алгебраических уравнений. Методы их решения

 

Контрольные вопросы:

1. Определение системы  линейных алгебраических уравнений.

2. Метод Крамера.

3. Метод Гаусса.

4. Метод обратной матрицы.

 

1. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

 (4)

где - коэффициенты системы, - свободные члены . Определитель третьего порядка Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

2. Если Δ ≠ 0, то единственное решение системы (4) выражается формулами Крамера:

, (5)

где - определители третьего порядка, получаемые из определителя системы Δ заменой первого, второго или третьего столбца соответственно столбцом свободных членов .

Систему (4) можно записать в матричной форме: , где

.

Тогда ее решение имеет  вид 

,  (6)

если определитель матрицы А отличен от нуля.

3. Одним из наиболее универсальных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности, к треугольному) виду.

Для исходной системы т алгебраических уравнений п неизвестными

система в ступенчатом  виде может быть представлена следующим образом:

где , , . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) происходит последовательное нахождение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Рассмотрим данный метод  на примере решения системы (4). Будем  считать, что элемент  (иначе первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при ). Используя элементарные преобразования системы (4), исключим неизвестное во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно ко второму уравнению системы. Затем умножим обе части первого уравнения на  и прибавим соответственно к третьему уравнению системы. Получим эквивалентную систему

Здесь , ( ) – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом  , исключим неизвестное из третьего уравнения системы. На этом шаге выполнение прямого хода заканчивается.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой  системы. В последнем уравнении  выражаем и подставляем во второе уравнение найденное значение. Из второго уравнения находим и подставляем значения и в первое уравнение, из которого находим значение .