Лекции по "Математике"

Замечание. На практике удобно работать не с системой (4), а с расширенной матрицей этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

4. Метод обратной матрицы решения систем алгебраических уравнений заключается в нахождении обратной матрицы по одному из алгоритмов, представленных в п.4, и использовании формулы

для нахождения решения  системы.

Замечание. Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е.

 r < n, (7)

то система имеет  бесконечное множество решений. Свободные  n-r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

  (8)

Решение.

Вычислим определитель системы

.

Так как Δ ≠ 0, то решение  системы может быть найдено по формулам Крамера (5). Для этого найдем :

.

Подставляя найденные  значения определителей в формулы (5), получим искомое решение системы: .

Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.

Решение.

Здесь

.

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A|=-26, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы . Транспонированная матрица имеет вид:

.

   

Согласно формуле (3), матрица  , обратная к матрице _{А имеет вид}

.

Проверим правильность вычисления _{, исходя из определения обратной матрицы (2) и используя формулу (1):}

Матричное решение системы (8) в силу формулы (6) имеет вид 

,

откуда следует (из условия  равенства двух матриц), что  .

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Здесь

.

Расширенная матрица  системы имеет вид 

.

Выполним прямой ход  метода Гаусса.

Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

.

Так как  , то умножая первую строку на (-2) и на (-1) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную из всех строк, начиная со второй:

.

Шаг 2. Так как , то умножим вторую строку на (-3/5) и прибавим к третьей, таки образом исключим переменную из третьей строки:

.

Получили систему уравнений, соответствующую последней матрице:

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения  ; из второго уравнения найдем ; из первого уравнения .

Ответ: (3; -5; 2).

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Здесь

.

Расширенная матрица системы имеет вид

.

Выполним прямой ход  метода Гаусса. Для этого произведем элементарные преобразования над строчками  расширенной матрицы системы:

 ̴   ̴ ̴

Полученная матрица  соответствует системе

Выполним обратный ход метода Гаусса, найдем значения неизвестных: , , .

Ответ: (1; 1; 1).

 

Лекция 3

Однородные  системы линейных уравнений

 

Контрольные вопросы:

1. Системы линейных однородных уравнений.

2. Фундаментальная система решений.

 

1. Системы линейных однородных уравнений.

Система т линейных уравнений с п неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, т.е.

  (9)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так  как она всегда имеет, по крайней  мере, нулевое решение (0; 0; …; 0).

Если в системе (9) т=п, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Другими словами: система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A) < n.

Обозначим решение системы (9) в виде строки  . Решения системы линейных однородных уравнений обладает следующими свойствами:

1. Если  строка  - решение системы (9), то и строка - также решение этой системы.

2. Если строки  и - решения системы (9), то при любых с₁ и с₂ их линейная комбинация - также решение данной системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

2. Фундаментальная система решений.

Система линейно независимых  решений  называется фундаментальной, если каждое решение системы (9) является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (9) меньше числа переменных п, то всякая фундаментальная система решений системы (9) состоит из п-r решений.

Поэтому общее решение  системы (9) линейных однородных уравнений  имеет вид:

,  (10)

где  - любая фундаментальная система решений, - произвольные числа и .

Можно показать, что общее  решение системы т однородных уравнений с п переменными

равно сумме общего решения  соответствующей  ей системы линейных однородных уравнений (9) и произвольного  частного решения этой системы (9).

 

Контрольные вопросы 

 

1. Что называется матрицей?
2. Перечислите виды матриц и охарактеризуйте каждый из них.
3. Какие действия можно выполнять над матрицами?
4. Перечислите свойства операции умножения матриц.
5. Какие преобразования матриц называются элементарными?
6. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?
7. Могут ли совпадать матрицы А и А^Т?
8. Что называется обратной матрицей?
9. В чем заключается алгоритм нахождения обратной матрицы методом Гаусса?
10. На примере матрицы третьего порядка покажите реализацию алгоритма нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения.
11. Если матрица А неквадратная, может ли существовать такая матрица В, что:

а) ВА=Е?

б) АВ=Е?

12. Докажите, что если для квадратной матрицы А найдутся две такие матрицы В и С, что если ВА=АС=Е, то В=С.
13. Что называется определителем второго, третьего, п-го порядка?
14. Сформулируйте свойства определителей.
15. Покажите методы вычисления определителей (на примере определителей третьего порядка).
16. Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы?
17. Сколько всего миноров у квадратной матрицы п-го порядка?
18. Что называется минором матрицы А=(а_ij)?
19. Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам неквадратной матрицы?
20. Дайте определение алгебраического дополнения матрицы А=(а_ij).
21. Верно ли, что:

а) если , то ;

б) если , то ;

в) если , то ;

г) ?

22. Дайте определение ранга матрицы.
23. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? Меньше нуля? Равным 2,5?
24. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?
25. Докажите, что у матрицы ранга, равного одному, все строки (столбцы) пропорциональны.
26. В чем заключается алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарных преобразований?
27. Сформулируйте и докажите теорему Кронекера-Капелли.
28. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
29. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.
30. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
31. К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?
32. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих систем?
33. Докажите, что система п линейных уравнений с п-1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы.
34. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение методом Гаусса, но не имела решения с помощью формул Крамера?
35. Дайте определение системы линейных однородных уравнений.
36. Дайте определение фундаментальной системы решений линейных однородных уравнений.
37. Может ли количество решений, составляющих фундаментальную систему решений, быть больше числа неизвестных? равно?
38. Может ли частное решение однородной (неоднородной) системы линейных уравнений быть ее общим решением?
39. Фундаментальные системы решений двух однородных систем линейных уравнений совпадают. Равны ли матрицы однородных систем? Равны ли ранги этих матриц?
40. Верно ли, что сумма (разность) двух любых решений системы линейных уравнений также является ее решением, если система:

а) однородна;

б) неоднородна?