Линейные нормированные пространства

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 25 Февраля 2013 в 20:37, доклад

Описание работы

Линейные нормированные пространства: определение, свойства, примеры
Замечание: всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нём ввести расстояние по формуле: (x, y)= x-y . Справедливость аксиом метрического пространства следует из аксиом нормы. Таким образом, нормированные пространства обладают всеми свойствами, установленными ранее для метрических пространств.

Скачать архив (375.64 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл

Доклад.pdf

— 402.93 Кб (Скачать файл)
Page 1
Пусть E – линейное пространство, xE. Нормой элемента x называется
функция x : Eсо свойствами (аксиомами нормы):
1. x 0;
2. x =0 x=0;
3.
x =
, где – действительное или комплексное число;
4. x+y
x + y - аксиома треугольника
Линейное пространство E, на котором введена норма, называется
линейным нормированным пространством.
Замечание: всякое нормированное пространство становится
метрическим, если в нём ввести расстояние по формуле: (x, y)= x-y .
Справедливость аксиом метрического пространства следует из аксиом
нормы. Таким образом, нормированные пространства обладают всеми
свойствами, установленными ранее для метрических пространств.
Линейное нормированное пространство называется банаховым, если оно
полно (относительно сходимости по метрике (x, y)= x-y , определяемой
его нормой).
Пусть E – линейное нормированное пространство, {x
 n
 }E –
последовательность. Эта последовательность называется сходящейся в
пространстве E (сходящейся по норме пространства E) к элементу xE,
если x
 n
 -x
 n
 0. При этом обозначают

 n
 =x.
Два линейных нормированных пространства E
 1
 и E
 2
 называются
изоморфными, если существует взаимно однозначное взаимно
непрерывное изоморфное отображение E
 1
 на E
 2
 .
Пусть E – линейное нормированное пространство, на котором заданы две
нормы x
 1
 и x
 2
 . Норма x
 2
 называется подчинённой норме x
 1
 , если
xE c 0: x
 2
 c x
 1
 .
Пусть E – линейное нормированное пространство, на котором заданы две
нормы x
 1
 и x
 2
 . Эти нормы называются эквивалентными, если
xE
c 0: c
 1
 x
 1
 x
 2
 c
 2
 x
 1
 .
Замечание: если две нормы эквивалентны, то сходимость по любой из
них влечёт сходимость по другой.
Page 2

Примеры
1). Пространство l
 p
n
 1 p . Элементами этого пространства являются
упорядоченные наборы из n действительных чисел x=(x
 1
 , …, x
 n
 ), n 1.
Норма определяется с помощью равентства:
(∑
)
Причём, при p=2 получается евклидово пространство R
 n
 .
2). Пространство C[a, b] непрерывных на [a, b] функций с нормой:
x =
Эта норма называется равномерной.
3). Рассмотрим множество всех функций x, заданных на [a, b], для которых
интеграл Лебега
∫
конечен. Здесь 1 p .
Пусть x =(∫
)
Полученное пространство обозначается L
 p
 [a, b] и называется пространством
Лебега. Элементами пространства являются классы эквивалентных функций.

Информация о работе Линейные нормированные пространства