Математическая модель объемного резонатора

Математическая  модель объемного резонатора

На сегодняшний день резонаторы используется во многих современных передовых технологиях, без которых уже невозможно представить современную жизнь людей. Такими технологиями являются сотовая связь, микроволновая печь, беспроводная связь и др.

РЕЗОНАТОР (от лат. resono - звучу в  ответ, откликаюсь) - устройство или природный объект, в котором происходит накопление энергии колебаний, поставляемой извне. Как правило, резонатор относятся к линейным колебательным системам и характеризуются т. н. резонансными частотами. При приближении частоты внешнего воздействия к резонансной частоте в резонаторе наблюдается достаточно резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний. Это - явление резонанса. После отключения внешнего источника колебания внутри резонатора какое-то время сохраняются. Они совершаются на частотах, близких к резонансным, и представляют собой уже собственные или свободные колебания резонатора Если пренебречь диссипацией (в т. ч. п потерями на излучение), то резонатор ведёт себя как идеальная консервативная колебательная система, обладающая дискретным спектром собств. колебаний. При наличии потерь чисто гармонические собственные колебания невозможны, соответствующие им резонансные кривые резонатора уширяются. Это уширение характеризуют добротностью Q = w/Dw (w - резонансная частота, Dw-ширина резонансной кривой). Добротность определяет отношение запасённой в резонаторе колебательной энергии W к энергии потерь за один период колебаний, Q = wW/P (P - мощность потерь); однако следует иметь в виду, что само понятие запасённой энергии в диссипативных системах является до некоторой степени условным, зависящим от принятой модели (идеализации) резонатора

Резонаторы различаются прежде всего физ. характером происходящих в них процессов. Так, существуют механические, акустические, электромагнитные и др. резонаторы. Напр., одномерным механическим резонатором является струна с закреплёнными концами, двумерным - упругая мембрана. В случае акустических колебаний роль резонатора часто выполняют различные трубы, колбы, сосуды, наполненные газом (воздухом). Акустическими резонаторами могут служить комнаты, залы или их отдельные части, что приводит к эффекту реверберации (продолжительного эхового звучания на избранных частотах) и нарушает акустическое совершенство помещений.

Наибольшую ценность представляют резонаторы электромагнитных колебаний. Именно этот вид резонаторов  используется во многих современных  технологиях. Простейший резонатор для электромагнитных колебаний - колебательный контур, состоящий из индуктивности L, ёмкости С, сопротивления R; его собственная частота и добротность. Размеры колебательного контура l должны быть малы по сравнению с длиной волны. Иначе существенны будут потери на излучение электромагнитных волн, что ведёт к уменьшению Q. Для снижения таких потерь применяют экранированные резонаторы в виде замкнутых объёмов с хорошо проводящими стенками. Это - т. н. объёмные резонаторы. Объёмные резонаторы служат в технике сверхвысокихчастот (СВЧ), которые широко используются в микроволновых печах.

Объемные резонаторы также широко применяются в технике в качестве колебательных систем генераторов (клистронов, магнетронов и др.), фильтров, эталонов частоты, измерительных контуров, а также различных устройств для исследования твердых, жидких и газообразных веществ. Объемный резонатор применимы для частот 109—1011 гц. Для более высоких частот длина волны возбуждаемых в объемном резонаторе колебаний становится сравнимой с размерами неизбежных шероховатостей и отверстий в стенках объемного резонатора, что приводит к рассеянию электромагнитной энергии. Эти недостатки устраняются в открытых резонаторах, представляющих собой систему зеркал.

Объёмный резонатор, колебательная система сверхвысоких частот, аналог колебательного контура; представляет собой объём, заполненный диэлектриком (в большинстве случаев воздухом) и ограниченный проводящей поверхностью либо пространством с иными электрическими и магнитными свойствами. Наибольшее распространение имеют полые объёмные резонаторы — полости, ограниченные металлическими стенками. Форма ограничивающей поверхности объёмного резонатора в общем случае может быть произвольной, однако практическое распространение (в силу простоты конфигурации электромагнитного поля, простоты расчёта и изготовления) получили объёмный резонатор некоторых простейших форм. К ним относятся круглые цилиндры, прямоугольные параллелепипеды, тороиды, сферы и др. Некоторые типы объёмного резонатора удобно рассматривать как отрезки полых или диэлектрических волноводов, ограниченные двумя параллельными плоскостями.

Задача о собственных колебаниях электромагнитного поля в объёмном резонаторе сводится к решению уравнения Максвелла с соответствующими граничными условиями. Процесс накопления электромагнитной энергии в объёмном резонаторе можно пояснить на следующем примере: если между двумя параллельными отражающими плоскостями каким-либо образом возбуждается плоская волна, распространяющаяся перпендикулярно к ним, то при достижении одной из плоскостей волна полностью отразится от неё. Многократное отражение от обеих плоскостей приводит к образованию волн, распространяющихся в противоположных направлениях и интерферирующих друг с другом. Если расстояние между плоскостями   ( — длина волны, а n — целое число), то интерференция волн приводит к образованию стоячей волны (рис. 1), амплитуда которой при многократном отражении сильно возрастает; в пространстве между плоскостями будет накапливаться электромагнитная энергия, подобно тому, как это происходит при резонансе в колебательном контуре.

Рис. 1. Образование стоячей волны в пространстве между двумя параллельными плоскостями в результате интерференции прямой и отражённых волн.

 

Свободные колебания в объёмном  резонаторе при отсутствии потерь энергии могут существовать неограниченно долгое время. Однако в действительности потери энергии в объёмном резонаторе неизбежны. Переменное магнитное поле индуцирует на внутренних стенках объёмного резонатора электрические токи, которые нагревают стенки, что и приводит к потерям энергии (потери на проводимость). Кроме того, если в стенках объёмного резонатора есть отверстия, которые пересекают линии тока, то вне объёмного резонатора возбуждается электромагнитное поле, что вызывает потери энергии на излучение. Помимо этого, есть потери энергии в диэлектрике и потери за счёт связи с внешними цепями. Отношение энергии, запасённой в объёмном резонаторе, к суммарным потерям в нём за период колебаний, называется добротностью объёмного резонатора. Чем выше добротность, тем лучше качество объёмного резонатора.

При рассмотрении свойств  объемного резонатора начинаем анализом ограниченной направляющей системы. Пересечем  двумя поперечными идеально проводящими  плоскостями  или произвольную направляющую систему, символически изображенную на рис.4 в виде двух пунктирных линий. Легко видеть, что в образовавшемся объеме (рис.4 и 2) не может существовать прежняя направляемая волна. Действительно, поперечная компонента ее электрического поля:

                                                                                         (1.1)

Рис. 6. Произвольная направляющая система

не удовлетворяет на введенных плоскостях граничным условиям:

                                                                                                       (1.2)

Рассмотрим суперпозицию двух направляемых волн, распространяющихся в различные  стороны. Записав поперечную электрическую компоненту такого поля:

                                                      (1.3)

попробуем подчинить  ее граничным условиям (1.2). Это приводит к двум уравнениям:

                                                                                     (1.4)

(круглые скобки  здесь и в дальнейшем опущены).

Первая строчка (1.4) позволяет  привести выражение(1.3) к виду:

       

                                                                              (1.5)

Переписав в тригонометрической форме вторую строчку (1.4) приходим к  требованию:

                                                                                                        (1.4a)

из которого вытекает, что 

                                                                                                            (1.6)

где

При , как это видно из (1.5), поперечная компонента электрического поля исчезает, и этот случай будет обсужден отдельно. Вообще же полученные результаты приводят к заключению, что в отсеченном объеме может существовать суперпозиция двух противоположно движущихся волн одинаковых амплитуд, но только при вполне определенной постоянной распространения, принимающей ряд значений (1.6). Фаза результирующего поля (1.5) не изменяется в пространстве. Такое поле называется стоячей волной направляющей системы.

Из (1.6) непосредственно следует, что продольный размер отсеченного участка направляющей системы должен быть кратным половине длины волны, ей свойственной:

                                                                                                            (1.7)

Возведя обе части (1.6) в квадрат, с помощью (8.22) находим:

                                                                                                     (1.8)

где введено обозначение

                                                                                                           (1.9)

и волновому числу  присвоен индекс «0».

Как видно, число  не может выбираться произвольно. Оно принимает ряд значений, каждое из которых соответствует определенному виду поперечной структуры поля ( то или иное поперечное волновое число ) и определенному числу продольных полуволн (продольное волновое число ) .

Из сказанного ясно, что  поле в объеме существует лишь при вполне определенных частотах:

                                                                              (1.10)

которым соответствуют  длины волн:

                                                                                       (1.11)

(измеренные в безграничной  среде с теми же параметрами  и , что и вещество, заполняющее ). Иными словами, объем обладает резонансными свойствами; это объемный резонатор, и мы нашли условия его свободных колебаний. Величины образующие бесконечные числовые последовательности, называются соответственно собственным волновым числом, собственной круговой частотой и собственной длиной волны резонатора.

Что касается случая , то применительно к ТЕМ- и Н-волнам он лишен физического содержания, так как поперечная компонента здесь обратиться в нуль не может. Однако он приобретает очевидный смысл для Е-волн, которые лишаются компоненты  при критических условиях. И, действительно, индекс обращается в нуль именно при критических условиях: при равной нулю постоянной распространения (1.6). Длина резонатора при этом становится  неопределенной:

             

т. е. может принимать  любые значения. Это и неудивительно, ибо при критических условиях поле направляющей системы продольно  однородно (рис.5), собственное волновое число резонатора при  равно:

                                                                                                            (1.12)

Рис. 7. Продольно однородное поле направляющей системы в критических условиях

 

и формулы (10,11)принимают  вид:                                                                        

                  

                                                                                                       (1.13)

Отметим следующее важное обстоятельство. Ввиду того, что  поле стоячей волны не  изменяется в пространстве по фазе, уравнения Максвелла свидетельствуют о постоянном фазовом сдвиге во времени электрического и магнитного полей на :

                                                                                                  (1.14)

Это значит, что в некоторые  моменты в резонаторе существует только электрическое поле:

             

и есть такие моменты, когда, наоборот, существует только поле магнитное:

              

Условие (1.14) означает также, что любой области резонатора в среднем передача энергии отсутствует:

                                                                                        (1.15)

В резонаторах с циклическим  потоком энергии (1.1) существует бегущая волна,  и равенства (1.14) и (1.15) не соблюдаются.

Обратимся теперь к случаю произвольного полого резонатора с  идеально проводящей оболочкой (рис.6). поле собственных колебаний резонатора следует искать как решение волнового уравнения  при граничных условиях, свойственных проводнику. Однако такая задача может быть решена только в нескольких случаях простейшей геометрической формы полости, например, для прямоугольного параллелепипеда, кругового цилиндра и шара. В первых же двух случаях, как уже известно, поле может быть найдено и в виде стоячей волны волновода.