Математическая модель объемного резонатора

Рис. 8.  Резонатор идеально проводящей оболочкой

С целью выяснить общие свойства собственного волнового числа резонатора запишем уравнение в виде:

                                                                                             (1.16)

и граничное условие для вектора :

             на                                                                                  (1.17)

Применив к левой  части (16) векторное тождество и  умножив результат на   получаем:

                                                                                             (*)

Далее, на основании:

                  

поэтому уравнение (*) после  интегрирования по объему резонатора можно записать так :

                     

Первый интеграл, по теореме  Остроградского-Гаусса сводится к поверхностному и в силу граничного условия(1.17) обращается в нуль:

              

Окончательный результат  представляет собой следующее интегральное выражение собственного волнового  числа:

                                                                                          (1.18)

Правая часть равенства  положительна, и поэтому  - величина вещественная. Как видно, собственное волновое число определяется формой, размерами и типом поля резонатора. Может случиться так, что одному значению   соответствует несколько различных типов поля, т. е. , что колебания разного вида имеют одинаковые собственные частоты. Такие колебания называются вырожденными.

Отметим, что выражение (1.18), рассматриваемое как функционал, обладает экстремальными свойствами. Нижняя граница функционала (2.1) на функциях допустимого класса соответствует низшей (основной) собственной частоте резонатора.

На основании предыдущего  материала нетрудно исследовать 

конкретные резонаторы, построенные с помощью изученных ранее направляющих систем. В данной статье будет рассмотрено только прямоугольный резонатор, так как в этой статье математическая модель объемного резонатора построена только для этой модели резонатора.

Прямоугольный резонатор. Так, компоненты поля прямоугольного

 резонатора (рис. 7) находим,  складывая соответствующие компоненты 

двух противоположно направленных волн прямоугольного волновода  и 

удовлетворяя граничным  условиям при  или ; при этом получаем:

Рис. 9. Прямоугольный резонатор

                                                                 (2.1)

                                           

                                                            (2.2)

 

Конкретизируя для рассматриваемого случая формулу (1.10 и 1.11), имеем:

                                                                        (2.3)

                                                                               (2.4)

Любая комбинация чисел  из которых ни одно не равно нулю, определяет одновременно собственную частоту полей резонатора. Эти колебания, таким образом, вырождены не менее, чем двукратно. Вообще же один из индексов

                                             или при поле

    и     »          »

может быть равен нулю. Следует подчеркнуть, что выбор  «продольной» оси  для прямоугольного резонатора в отличие от волновода произволен. Поэтому, употребляя то или иное обозначение поля, нельзя забывать, о какой именно системе координат идет речь. Так, а кубическом резонаторе могут существовать три идентичных по строению, по различно ориентированных поля.

 

Рис.8.  Основное поле резонатора

Если  - самое короткое ребро резонатора, то его наименьшая собственная частота определяется формулой:

                                                                                   (2.5)

Соответствующее этой частоте основное поле резонатора (рис.8) в принятой ранее системе координат получает обозначение , а его компоненты имеют вид:

                                                                (2.6)

Легко сообразить, что  при изменении ориентации системы  координат это же поле может быть названо или . В кубическом резонаторе основное колебание трехкратно вырождено.

Представление о некоторых  высших типах поля прямоугольного резонатора дает рис. 9. Полезно провести сопоставление рис. 8 и 9. В сравнении со случаем волновода электрическое и магнитное поля резонатора сдвинуты между собой по оси на , что обусловлено колебательным движением энергии.

Рис.9. Высшие типы поля прямоугольного резонатора

Легко убедиться, что  суперпозиция полей  и или и , сдвинутых по фазе на , создает а резонаторе циклический поток энергии. Возьмем для примера основное колебание. Составляя суперпозицию, символически обозначаемую       

с помощью (2.2) находим  выражение средней плотности  потока энергии:

                   (2.7)

Как видно, средний вектор Пойнтинга лежит в поперечной плоскости. Направление потока энергии в точках, находящихся на диагоналях поперечного сечения резонатора, показано на рис. 10.

                        

Рис.10. Направление потока энергии            Рис.11. Цилиндрический резонатор в точках, находящихся на

диагоналях поперечного  сечения 

резонатора

 

 

 

 

 

 

Значение математической модели в  науке

Математическая модель — приближённое описание какого-либо класса явлений  внешнего мира, выраженное с помощью  математической символики. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений математической модели — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления.

Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. Математические модели проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления. 

Процесс математического моделирования, т. е. изучения явления с помощью математической модели, можно подразделить на четыре этапа.

Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты  модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника — мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе математической модели различных явлений, бывают одинаковыми (напр., основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап — выяснение  того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена (все параметры её были заданы), то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называемые обратимыми задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап — последующий  анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели.

Математическая модель объемного резонатора составлена с помощью Microsoft Excel. Первоначально были введены данные, которые находятся в диапазоне  A1:В11. Эти данные подставила в известные нам формулы:

 и получила таблицу  значений. По результатам этих  значений были построены соответствующие  диаграммы для Е - поля 

На основании таблицы данных построила диаграмму с помощью макроса:

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, по формулам :

построила диаграммы  для Е – поля 

 

Так же на основании таблицы  данных построила диаграмму с  помощью макроса: