Математические фокусы

Число-загадка

Содержание фокуса:

Попросите зрителя написать любое  трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние  цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть  меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9.

Секрет фокуса:

Частное же равняется указанной  фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5).

Математическая  сущность фокуса:

Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное  число можно представить в  виде 100a+10b+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c+10b+a.

Вычитая второе из первого  и деля его на 9, имеем:

100a+10b+с-(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)

 

Фокус с запиской

Содержание фокуса:

Напишите на бумажке число 1089, вложите  бумажку в конверт и запечатайте  его. Затем предложите кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное  число, но такое, чтобы крайние цифры  в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами  крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число.

Секрет фокуса:

Секрет этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних  цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры  отличаются  более чем на единицу, то эта разность обязательно будет  трехзначным числом, обозначим ее 100k+10l+m.

Математическая  сущность фокуса:

Имеем: 100k+10l+m=99k+(10l+m+k).

Так как разность делится  на 99, то это равенство показывает, что обязательно: 10l+m+k=99, откуда вытекает, что l=9, m+k=9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100k+10l+k, и сумма равняется: 100k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m)+20l+(m+k)=100·9+20·9+9=1089.

Любимое число

Содержание фокуса:

Попросите кого-нибудь сообщить вам  его любимую цифру. Допустим, вам  назвали цифру 6.

После попросите собеседника умножить его любимую цифру на число  значащих цифр, т.е. на 9, и полученное число (54) подпишите множителем под  числом  12 345 679:

12 345 679

     х        54

Что получиться в произведении? 
Ваш собеседник выполняет умножение и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр: 
6 666 666 666

Однако в чем тут дело?

Точно такой же изысканный вкус оказался бы у вашего собеседника, если бы он избрал какую угодно другую из девяти значащих цифр, потому что каждая из них обладает тем же свойством:

12 345 679              

х    4  х     9                 

444 444 444

 

12 345 679

  х   7   х   9

777 777 777

Секрет фокуса:

Откуда такая закономерность в результатах? 

Пример во внимание, что 

12 345 678*9+9=(12 345 678+1)*9=12 345 679*9 

Поэтому

12 345 679*9=111 111 111.

Математическая сущность фокуса:

А это объясняется числовой пирамидой: 

1*9+2=11

12*9+3=111

123*9+4=1111

1234*9+5=11111

12345*9+6=111111

123456*9+7=1111111

1234567*9+8=11111111

12345678*9+9=111111111

 

«Сколько братьев и сестер…»

Содержание фокуса:

 Вы сможете угадать, сколько  братьев, сестер, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических действий на калькуляторе!

Пример:

Допустим,  у  вашего приятеля:  братьев   —  4; сестер — 3; бабушек  и дедушек — 2.

Предложите приятелю:

Набрать на калькуляторе цифру, соответствующую количеству братьев– 4

1. Умножить это число на 2.             4´2=8
2. Прибавить к произведению 3                 8  +   3=11
3. Умножить полученную сумму на 5.        11 ´ 5 = 55

4.Прибавить к результату сестер.           55 + 3 = 58

5. Умножить полученную сумму  на 10         58 ´ 10 = 580

6.  Прибавить бабушек и дедушек.                    580  + 2 = 582

7. И, наконец, прибавить 125.                         582 + 125 = 707 

Закончив вычисления, попросите  у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите из него 275, и на табло чудесным образом появится количество братьев, сестер и бабушек с дедушками!

Для нашего примера 707 – 275 = братья ® 432 ¬ бабушки и дедушки

                                                                                    ­

                                                                               сестры

 

Исключения:

1. Если после вычитания  числа 275 на табло появится двузначное число, значит, у вашего приятеля нет братьев.

Пример 12 = 012; следовательно, число братьев равно 0.

2.Если после вычитания  числа 275 на табло явится, лишь одна цифра, значит, у вашего приятеля нет ни братьев, ни сестер.

Пример 2 = 002;

Следовательно, число братьев  равно нулю и число сестер также  равно нулю.

 

 

 

Фокус с четным числом.

Содержание фокуса:

Предложите кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, затем  взять половину полученного числа  и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение  найденного числа на 9, то вы назовете задуманное число.

Математическая сущность фокуса:

Переведем команды на язык алгебры:

2n – четное число. После выполнения команд получаем: 2n · 3 = 6n; 6n : 2 = 3n; 3n · 3 = 9n ; 9n : 9 = n; n. n – половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число,  вы должны сообщенное число умножить на 2.

Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа.

Можно предложить любое  задуманное целое число. Если утроенное  задуманное число на 2 не делится, то к утроенному числу нужно добавит 1, а потом разделить на 2, и действовать как описано выше. Нужно также иметь ввиду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавит 1. Проверим это правило для нахождения любого задуманного числа. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2n + 1, наши действия принимают вид:

(2n · 3) = 6n + 3;. Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1 находим: 6n + 3 + 1 = 6n + 4. разделив это число на 2 получим: 3n + 2.

(3n + 2) · 3 = 9n + 6. частное отделения 9n + 6 на 9 равно n. (остаток равен 6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2n + 1.

“Феноменальная память”.

Содержание фокуса:

Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число  по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер каточки, а фокусник, немного  подумав, говорит, какое на этой карточке записано число.

Секрет фокуса:

Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия – прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного  двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением  двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки – 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры – получим 15, будем складывать цифры, следующая – 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.

 

 

 

Фокус “Угадать зачеркнутую цифру”

Содержание фокуса:

Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет цифру – безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Секрет фокуса:

Выполняется это очень  просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что  до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 – не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается?

Математическая сущность фокуса:

Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без  остатка, иначе говоря, сумма цифр которого делится на 9. В самом  деле, пусть в задуманном числе  а – цифра сотен, в – цифра десятков, с – цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т.е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5.Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В своем реферате я пыталась рассмотреть  математические фокусы. Мне было интересно доказать, что математические фокусы, не что иное, как своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Интересно было узнать, что для угадывания возраста и даты рождения, состава семьи, любимого числа и т.д., является понятие состава числа. Я узнала, что секретом отгадывания большинства фокусов являются уравнения.

В ходе подготовки реферата была достигнута основная цель - осмысление и обобщение математических закономерностей, связанных с созданием математических фокусов. В результате проделанной работы можно сформулировать несколько выводов:

1. Фокусы появились несколько тысячелетий назад до нашей эры. А математические фокусы возникли и стали развиваться с возникновением математики, как науки.
2. Математические фокусы – это эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, и лишь обличенные в экстравагантную форму. И понять  суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.

 

 

 

 

 

 

Литература:

1. М. Гарднер  «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970
2. Б. А. Кордемский  «Математическая смекалка» Москва Просвещение 1957
3. Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970
4. Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь» 1994
5. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007
6. 365 веселых игр и фокусов. Москва  АСТ - пресс 2005
7. moikompas.ru/compas/focus_pocus  
8. deltadim.narod.ru/matfocus.htm  
9. nauka.relis.ru/52/0002/52002048.htm  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

Фокус "Волшебная  таблица"
5	4	3	2	1
16	8	4	2	1
17	9	5	3	3
18	10	6	6	5
19	11	7	7	7
20	12	12	10	9
21	13	13	11	11
22	14	14	14	13
23	15	15	15	15
24	24	20	18	17
25	25	21	19	19
26	26	22	22	21
27	27	23	23	23
28	28	28	26	25
29	29	29	27	27
30	30	30	30	29
31	31	31	31	31
16	8	4	2	1