Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Марта 2013 в 10:41, контрольная работа
В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.
Вариант 6
В
пространстве трех товаров рассмотрите
бюджетное множество при
Вариант |
6 |
Данные |
P = (7,5,2) Q = 70 |
Цена товара , товара , товара и , бюджетное множество есть пирамида ОАВС. Точка А имеет координату , точка В имеет координату , точка С имеет координату .
Бюджетное множество B(P,Q) и его граница G(P,Q) зависят от цен и дохода.
Бюджетное множество и его границу можно определить с помощью обычных неравенств и равенств так:
и с помощью векторных равенств и неравенств
Объем бюджетного множества равен объему построенной пирамиды ОАВС.
Объему пирамиды ОАВС равен одной трети произведения площади основания на высоту:
где S – площадь основания, H – высота пирамиды.
В рассматриваемом случае высота Н равна 35.
Треугольник AOB прямоугольный, следовательно, площадь основания равна:
=
Найдем объем:
Задание 2
Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Вариант |
Данные |
6 |
D = 400-5р; S = 100+5р |
Решение:
Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е. 400-5р = 100+5р. Равновесная цена p* = 30 и выручка при равновесной цене W(p*) = p* * D(p*) = p* * S(p*) = 30*(100+5*30)=7500
При цене p > p* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при p < p* - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:
При p*(400-5р) –максимум достигается в точке = 40, выручка W(p)=8000
При p*(100-5р) –максимум достигается в точке =10, выручка W(p)=150
Таким образом, максимальная выручка W(р) = 8000 достигается при равновесной цене.
Задание 3
Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).
Вариант |
Игра |
6 |
|
Сначала необходимо проверить наличие седловой точки. Седловой точки нет.
Обозначим стратегию Первого , искомую оптимальную стратегию Второго .
Выигрыш Первого есть случайная величина с таким рядом распределения:
W(x,y): |
5 |
-7 |
-2 |
5 |
xy |
x(1-y) |
(1-x)y |
(1-x) (1-y) |
Находим средний выигрыш за партию Первого – математическое ожидание случайной величины W(x,y):
M(x,y) = 5xy-7x(1-y)- 2y(1-x)+5(1-x) (1-y) = 19xy-12x-7y+5 =
= 19x(y-12/19)-7(y-12/19)+11/19 = 19(x-7/19)(y-12/19)+11/19
Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы M(x,y*)≤ M(x*,y*)≤ M(x*,y). Это выполняется при x*=7/19 и y*=12/19, так как именно в этом случае M(x , 12/19) = M(7/19 , 12/19) = M(7/19 , y) = 11/19.
Следовательно, оптимальная стратегия Первого игрока есть , Второго - . Цена игры по определению равна .
Задание 4
Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.
Вариант |
Данные |
|
6 |
|
матрицу коэффициентов 2-го порядка:
Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:
3. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц (первый способ).
А) находим матрицу (Е - А):
Б) вычисляем определитель этой матрицы:
В) транспонируем матрицу (Е - А):
Г) находим алгебраические дополнения для элемента матрицы :
Таким образом, присоединенная к матрице (Е – А) матрица имеет вид:
Д) находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.
Схема межотраслевого баланса:
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли | ||||
1 |
2 |
3 |
Конечная продукция |
Валовая продукция | |
1 2 3 |
475,03 95,01 95,01 |
65,04 0 65,04 |
59,99 30,00 30,00 |
350 200 110 |
950,06 325,22 299,97 |
Условно чистая продукция |
285,01 |
195,14 |
179,98 |
660 |
|
Валовая продукция |
950,06 |
325,22 |
299,97 |
1575,25 | |
Задание 5
Проверить ряд
на наличие выбросов методом Ирвина,
сгладить методом простой скользящей
средней с интервалом сглаживания
3, методом экспоненциального
Вариант |
Ряд данных |
6 |
у = 12,11,12,14,15,13,15,17,15,13 |
Найдем среднее арифметическое
Среднеквадратическое
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
- |
0,55 |
0,55 |
1,09 |
0,55 |
1,09 |
1,09 |
1,09 |
1,09 |
1,09 |
Аномальный уровень
Метод простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3
Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:
t>p, где
|
y(t) |
12 |
11 |
12 |
14 |
15 |
13 |
15 |
17 |
15 |
13 |
|
- |
11,67 |
12,33 |
13,67 |
15 |
14,33 |
15 |
15,67 |
15 |
- |
Метод экспоненциального сглаживания ( =0,1)
Экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:
|
y(t) |
12 |
11 |
12 |
14 |
15 |
13 |
15 |
17 |
15 |
13 |
|
11,70 |
11,63 |
11,67 |
11,90 |
12,21 |
12,29 |
12,56 |
13 |
13,2 |
13,18 |
Графическое представление результатов сглаживания:
Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени.
Полином первой степени имеет вид:
Система нормальных уравнений имеет вид:
Отсюда находим
=11,07
=0,48
Построим трендовую модель в виде полинома первой степени:
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:
а) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:
|
t |
Фактическое |
Расчётное |
Отклонение |
Точки пиков |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
12 11 12 14 15 13 15 17 15 13 |
11,55 12,03 12,51 12,99 13,47 13,95 14,43 14,91 15,39 15,87 |
0,45 -1,03 -0,51 1,01 1,53 -0,95 0,57 2,09 -0,39 -2,87 |
- 1 0 0 1 1 0 1 0 - |
55 |
137 |
137,1 |
-0,1 |
4 |
б) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:
Необходимые условия:
Если
эти условия выполняются
то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной.
1)
2)
Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.
в) Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю:
По результатам вычислений математическое ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в таблице это математическое ожидания равно: (-0,1):9=-0,01и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.
г) Для проверки независимостей уровней остатков рассчитаем значение критерия Дарбина – Уотсона.
d =
Из таблицы d = 1,08 d = 1.36
Т.к. расчётное значение больше табличного d = 1,36, то можно сделать вывод о независимости уровней остаточной последовательности. Остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной компоненты, временного ряда, следовательно, построенная линейная модель является адекватной. Определим точность модели.
Средняя относительная ошибка аппроксимации.
Дадим прогноз на 3 шага вперед (t=11, t=12, t=13). Точечный прогноз получим, подставив данные значения в уравнение модели:
Вычислим значения величины К для n=10 ( уровень значимости α = 0,2).
По таблице значений величина К для t = 10 (L = 1) K = 1,77
Для t = 11 (L= 1) K = 1,88
Для t = 12 (L= 2) K = 1,73
Для t = 13 (L= 3) K = 1,68
Определим среднюю квадратическую ошибку прогнозируемого показателя:
Результаты расчета представлены в таблице:
время t |
Шаг L |
Точечный прогноз уn+L |
Доверительный интервал прогноза | |
Нижняя граница |
Верхняя граница | |||
11 |
1 |
16,35 |
13,62 |
19,08 |
12 |
2 |
16,83 |
14,32 |
19,34 |
13 |
3 |
17,37 |
14,93 |
19,81 |