Математичні моделі інфляції

(1.27)

Тоді з (1.9) випливає, що рівноважна траекторія росту зайнятості описується рівнянням:

(1.28)

де

Тут неявно припускається, що В протилежному випадку модель не має змісту, так як кількість використовуємої робочої сили не може перевищувати її пропозиції.

З (1.18) випливає, рівноважний  темп росту ставки заробітної плати  рівний а з (1.5), (1.18), (1.20), та (1.28) випливає що рівноважний темп росту рівня цін рівний темпу росту пропозиції грошей за винятком суми темпа росту ефективності праці, росту пропозиції праці, обумовлених науково-технічним прогресом. Параметр має назву еластичності попиту на гроші від доходу. З умови випливає, що при постійній норма відсотка задане збільшення доходу викликає рівне пропорціональне збільшення попиту на гроші.

З рівнянь (1.12), (1.25) та (1.26) випливає, що у випадку, коли та знаходятся на своїх рівноважних траекторіях росту, норма відсотка рівна константі , яка визначається виразом:

(1.29)

Відмітимо, що та . Зміст одержаних результатів зводиться до того, що чим вище рівноважна норма відсотка, тим більше значення грає капітал в процессі виробництва і тим нижце схильність до заощадження. Другою цікавою властивістю виразу (1.29) є незалежність від пропозиції грошей та параметрів переваги ліквідності — та . Цей результат пояснюється тим, що при умові коли всі змінні розташовані на своїх рівноважних траекторіях росту ставка заробітної плати коректується по пропозиції грошей та параметрам переваги ліквідності таким чином, що нейтралізувати їх вплив на норму відсотка та реальні змінні системи.

Рівняння (1.13) та (1.29) дозволяють вияснити взаємовідношення між класичною та кейнсіанською теорією відсотка. У відповідності з класичною теорією  норма відсотка визначається реальними факторами, впливаючими на заощадження та попит на капітал, а по теорії Кейнса вирішальний вплив на норму відсотка справляють явища грошового обороту. В розглядуємій моделі точка зору Кейнса, яка виражається рівнянням (1.13), застосовна до фактичної норми відсотка в довільний момент часу, а класична теорія, представлена рівнянням (1.29), застосовна тількі до рівноважної норми відсотка.

З рівнянь (1.15) — (1.17) та (1.24) — (1.26) отримаємо:

	(1.30)
	(5.31)
	(1.32)

де

З (1.31) та (1.32) маємо:

(1.33)

де відношення прямує до нуля, при прямуючих до нуля.

Точні траекторії визначаються початковими значенням цих величін та рівняннями (1.30) — (1.32), а наближені — початковими значеннями та системою лінійних рівнянь:

(1.34)

яка отримується якщо не враховувати  . Достатньою умовою того, щоб пропорційні відхілення та від їх рівноважних траекторій росту прямували до нуля при , є достатньо мала величіна відповідних початкових відхілень і наявність у характеристичних корней функції від’ємних дійсних частин.

Характеристичними корнями функції є корені рівняння:

(1.35)

де

Необхідні та достатні умови  того, щоб ці корені мали від’ємні дійсні частини, виражаються нерівностями , , . Ці умови виконуються, якщо , але можуть порушуватись, якщо остання умова не має місця. Таким чином, при значному впливі доходу на рівень попиту на гроші, тобто при великому значенні , відбувається стабілізація, а при сильному впливі норми відсотка на рівень попиту на гроші, тобто при великому значенні , виникає “вибухоподібний” рух системи.

Для того, щоб краще зрозуміти властивості моделі, розглянемо неформалізований опис впливу збуджень на встановившийся стан системи. Припустимо, що всі змінні знаходяться на своїх рівноважних траекторіях росту і що деяке збудження викликає збільшення геометричного темпу росту реального споживання. Це призведе до збільшення геометричного темпу росту випуску продукції, занятості та рівня цін. Збільшення геометричних темпів реального доходу та рівня цін створить тенденцію до збільшення геометричного темпу росту попиту на гроші. Відповідно, при умові, коли геометричний темп росту пропозиції грошей не змінюється, буде відбуватися ріст норми відсотка. Цей ріст викликає тенденцію до зменшення геометричного темпу росту попиту на капітальні блага, в результаті чого зупиниться відхилення вверх випуска продукції від його рівноважної траекторії росту. Таким чином, при сильному впливі доходу на попит на гроші можна очікувати, що цей вплив буде здійснювати стабілізуючий вплив на систему. Однак, збільшення норми відсотка, обумовлене збільшенням геометричного темпу росту реального доходу і цін, тим менше, чим більш відчутний вплив норма відсотка на попит на гроші, бо в силу (1.8) зменшення попиту на гроші, викликане зростанням норми відсотка, має бути достатнім для компенсації збільшення попиту на гроші, викликаного відхіленням вверх фактичного доходу та рівня цін від їх рівноважних траекторій росту. Відповідно, при суттевому впливі норми відсотка на попит на гроші слід очікувати, що цей вплив дестабілізуюче діє на стан системи.

Д. Кейнс висунув думку, що еластичність попиту на гроші від норми відсотка  може бути зростаючою функцією і прямує до по мірі того, як від своєї верхньої межи наближається до деякого додатнього числа. З рівняння (1.7) випливає, що еластичність попиту на гроші від норми відсотка є константа, рівна . Якщо б гіпотеза Кейнса була вірна, розглядуєма модель страждалаб одним принциповим недоліком. Однак, отримані до сих пір емпіричні дані не підтверджують вказаної гіпотези. Так, виконаний Бронфербергом та Майером аналіз даних по США за період 1919 – 1956 рр. не дає приводу відкидувати припущення, що еластичність попиту на гроші від норми відсотка є константа.

Приймемо, наприклад, слідуючі значення параметрів: ; ; ; ; ; ; . Параметр приблизно рівний відсотковому збільшення темпу росту ставки заробітної плати, відповідаючому, підвищенню рівня зайнятості на 1%. Прийняте значення цього параметру базується на даних по Англії. Параметр s рівний частці приросту реального доходу, напрамляємого на заощадження, і має назву граничної схильності до заощадження. Величини та називаються швидкодією, а обернені їм величини — середнім значенням часового запізнення. Параметр – додатня константа фігуруюча у виробничій функції Кобба-Дугласа яка пов’язує чисельність використовуємої робочої сили з реальним випуском продукції та об’ємом використовуємого капіталу.

При вказаних значеннях всіх параметрів, окрім та , умова стійкості системи записується нерівністю:

(1.36)

Якщо, як це часто приймається, , то ця умова виконується при , а якщо , то умова стійкості виконується при . Різні емпіричні оцінки еластичності попиту на гроші від норми відсотка по даним, які відносяться до Англії та США, лежать в межах від 0 до –2,0. При близьких до дійсних значеннях та , задовільняючих нерівності (1.36), два з трьох коренів рівняння (1.35) комплексні, так що модель породжує затухаючий цикл біля тенденції до рівноважної траекторії росту.  

Економічне регулювання

Мета цього розділу полягає у тому, щоб дослідити як змінюється поведінка моделі циклічного росту при введенні різноманітних зворотніх зв’язків, відображаючих той інший курс грошової та фіскальної політики. Таке дослідження можна розглядати як задачу прогнозування в широкому аспекті. Разом с тим воно наочно демонструє одну з найбільш важливих можливостей використання макроекономічних моделей. Крім того, навіть з точки зору чистого прогнозування важливо, щоб співвідношення які описує вплив зворотніх зв’язків були включені в модедь, особливо ті з них, які відображають курси політики, що проводиться державними органами.

Грошова політика

 

У попередньому розділі  грошова політика була нейтральною  в тому розумінні, що пропозиція грошей була зростаючою в геометричній прогрессії. Припустимо тепер, що пропозиція гроней неперервно змінюється відповідно до змін інших змінних моделі.

Розглянемо спочатку політику, що описується рівнянням 

(2.1.1)

де  — додатні константи.

Припустимо, що задає траекторію зайнятості, яка вважається оптимальною. Оскількі пропозиція робочої сили відповідає траекторії оптимальний пропорційний рівень зайнятості визначається відношенням . Це відношення, яке не перевищує одиницю відображає оптимальний баланс між безробіттям та інфляцією. Рівняння (2.1.1) базується на припущенні, що при оптимальному рівні зайнятості пропозиція грошей постійна і рівна , в противному випадку пропорційне перевищення над є зростаючою функцією пропорційного перевищення над . Тепер замість рівняння (1.10) використовується рівняння (2.1.1), так, що модель включає рівняння (1.1) — (1.9) і (2.1.1).

З (1.7), (1.8) і (2.1.1) отримаємо

(2.1.2)

Тоді з (1.12) та (2.1.2) отримаємо

(2.1.3)

що разом з (1.4) та (1.5) дає

(2.1.4)

Одночасно також маємо

	(2.1.5)
	(2.1.6)

що аналогічно відповідно (1.16) та (1.17).

Траекторія зміни змінних  та визначається початковими значеннями змінних і системою рівнянь (2.1.4) — (2.1.6). Частинний розв’язок цієї системи має вигляд

	(2.1.7)
	(2.1.8)
	(2.1.9)

де 

	(2.1.10)
	(2.1.11)
	(2.1.12)

 

Із (1.4), (2.1.8), (2.1.9) та (2.1.12) випливає,що рівноважна траекторія росту зайнятості визначається рівнянням

(2.1.13)

де 

Таким чином, ця траекторія не пов’язана з оптимальною. Дійсно, порівняння (1.28) з (2.1.13) показує, що рівноважна траекторія росту зайнятості співпадає з траекторією, що відповідає постійній пропозиції грошей. Це неприйнятний наслідок політики, що описується рівнянням (2.1.1). Розглянемо тепер вплив цієї політики на стійкість системи.

З рівнянь (2.1.4) — (2.1.6) та (2.1.10) — (2.1.13) маємо

	(2.1.14)
	(2.1.15)
	(2.1.16)

де 

Точні траекторії зміни  змінних  визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.1.4) — (2.1.6) та (2.1.10) — (2.1.13), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.1.14), (2.1.15) та

(2.1.17)

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої системи є корені рівняння

,

(2.1.18)

де 

Зауважимо, що , , і при умові, що частинна похідна . Отже, хоч політика задана рівнянням (2.1.1) не впливає на рівноважну траекторію зайнятості (на відміну від політики, що передбачає постійну пропозицію грошей), вона може справляти стабілізуючу дію.

Припустимо, наприклад, що ; ; ; ; ; ; ; ; .При цих умовах і при корені рівняння (2.1.18) рівні ; , а при ці корені рівні ; ; . Тобто у даному випадку вплив грошової політики приводить до поступової ліквідації ціклу і більш швидкої збіжності до довгострокового тренду.

Розглянемо тепер політику, яка  визначається рівнянням 

(2.1.19)