Математичні моделі інфляції

 де  — додатні константи. Тоді повна модель буде описуватися рівняннями (1.1) — (1.10) та (2.2.1). Із (1.4) та (2.2.1) випливає

(2.2.2)

що разом з (1.17) дає

(2.2.3)

Маємо також 

	(2.2.4)
	(2.2.5)

що ідентично (1.16) та (1.15) відповідно.

Траекторії зміни  та визначаються початковими значеннями змінних та системою рівнянь (2.2.3) — (2.2.5). Ця система має частинний розв’язок:

	(2.2.6)
	(2.2.7)
	(2.2.8)

де

	(2.2.9)
	(2.2.10)
	(2.2.11)
	(2.2.12)

З (1.4), (2.27), (2.2.8), (2.2.10) та (2.2.11) випливає, що рівноважна траекторія росту  зайнятості визначається рівнянням:

(2.2.13)

де 

Відмітимо, що рівняння (2.2.13) тотожне (1.28) в тому розумінні, що не залежить від та . Отже рівноважна траекторія росту зайнятості не залежить від оптимальної траекторії і бюджетна політика яка визначена рівнянням (2.2.1), на неї не впливає. Однак ця політика впливає на рівноважну траекторію росту випуску продукції. Дійсно, із (2.2.11) випливає, що . Це пояснюється тиж, що ріст норми оподаткування (обумовлений зменншенням державних позик в приватному секторі) або зниженням частки надходжень від податків,  направленою на покриття державних витрат, призводить до збільшення рівноважного відношення капіталу до випуску продукції.

З рівнянь (2.2.3) — (2.2.5) та (2.2.9) — (2.2.12) отримаємо

	(2.2.14)
	(2.1.15)
	(2.1.16)

де

Точні траекторії зміни  змінних  визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.2.14) — (2.2.16), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.2.14), (2.2.15) та

(2.2.17)

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої  системи є корені рівняння

,

(2.2.18)

де 

У співвідношення (2.2.1) яке описує вплив зворотнього зв’язку входять обидва параметри політики та . Значення цих параметрів впливає не тільки на стійкість системи, але і на рівноважне відношення капітал — випуск. Припустимо, що бажанне значення (яке являється рівноважним значенням відношення основного капіталу до випуску продукції) визначається як окреме рішення прийнятої політики. При цьому врахуємо, що рівноважна траекторія росту випуску буде тим вища, а початковий рівень споживання тим нижчий, чим більше значення . Таким чином, розглядуючи вплив зміни на стійкість системи будемо припускати що змінюється так, щоб значення залишалося постійним. При цьому при диференційуванні функцій по знак частинної похідної використовується для того, щоб вказати, що сталою величиною є а не . Тепер, припускаючи, що маємо , і при умові, що та , похідна . Тобто додатне значення може здійснювати стабілізуючу дію.

Припустимо, наприклад, що задані такі значення праметрів: ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Тоді, якщо , корені (2.2.18) рівні: ; ; а якщо , вони рівні: ; ; . Тобто, в цьому випадку бюджетна політика призводить до ліквідації циклу і більш швидкої збіжності до довгострокового тренду.

Надалі не розглядуються  більш складні бюджетні політики, аналогічні грошовим політикам, що описуються рівняннями (2.1.19) та (2.1.39). Це пояснюється тим, що єдиними, що мають практичний зміст бюджетними політиками є ті, при яких відношення заощаджень (особистих та державних) до національного доходу прямує до додатньої константи при . Якщо це припущення справедливе, то жодна практично здійснювана бюджетна політика не може здійснювати вплив на рівноважну траекторію росту зайнятості. Хоча цей висновок очевидний з (2.2.13) і викладених щойно міркувань він може здатися несподіваним, особливо, при співставленні з результатами, отриманими змоделей, де грошові фактори не враховуються. На завершення цього розділу наведемо неформальний опис впливу змін у бюджетній політиці, викликаючих стійкій ріст відношення заощадження — доход. З цією метою ми будемо припускати, що початковий стан економіки відповідає рівноважній траекторії росту.

Згадаємо, що в цьому  розділі прийнято припущення що пропозиція грошей зростає в геометричній прогресії, а отже бюджетні зміни не впливають  на темп росту. Звідци випливає, що надлишок надходжень від податків над поточними державними витратами державних позик у приватного сектора економіки, а не для зменшення пропозиції грошей. Тим не менш, зміни бюджетної політики вказаного типу одразу викликає зменшення споживання, а отже і зайнятості. Але зменшення зайнятості, в свою чергу викликає зниження пропорційного темпу росту  заробітної плати та цін, а в силу цього зменшення пропорційного темпу росту попиту на гроші. Оскількі пропорційний темп росту пропозиції грошей не змінюється, норма відсотка постійно падає, викликаючи поступове збільшення попиту на капітальні товари та підвищення рівня зайнятості. Якщо значення не дуже велике, рівень зайнятості прямує до рівноважного, в даному випадку до початкового, рівня. Таким чино, єдиний стійкій ефект зміни бюджетної політики зводиться до збільшення відношення накопичення капіталу до споживання, а отже до підвищення рівноважної траекторії росту випуску продукції.

Наведений опис – спрощений, так як в ньому не враховано тимчасове запізнення виробництва відносно попиту. Внаслідок цього запізнення траекторія збіжності, як правило є коливальною, а не стійкою.

 

Поєднання грошової та бюджетної  політики

В цьому розділі розрізнялися три мети здійснення кожної політики: 1) досягнення оптимального довгострокового балансу між безробіттям та інфляцією; 2) досягнення оптимального довгострокового балансу між споживанням та накопиченням капіталу; 3) мінімізація короткострокових флуктуацій. Було показано, що при прийнятих в моделі припущеннях грошова політика може бути використана для досягнення цілей 1) та 3) але не 2), а бюджетну політику, яка належить до класу, що має практичний зміст можна використати для досягнення цілей 2) і 3), але не 1). Отже, якщо прагнути досягнення всіх трьох цілей необхідно застосовувати деяке поєднання грошової та бюджетної політик.

Ефективну систему регулювання  економіки можна отримати, якщо об’єднати  політики, що описуються рівняннями (2.1.58) та (2.2.1). Для спрощення викладок розглянемо комбіновану політику, що визначається рівняннями (2.1.39) та (2.2.1). Тоді модель включає рівняння (1.1) — (1.9), (2.1.39) та (2.2.1). Маємо рівняння

	(2.3.1)
	(2.3.2)
	(2.3.3)

які ідентичні відповідно рівнянням (2.2.21), (2.1.41) та (2.1.42). Отримаємо також, що

(2.3.4)

ідентичне (2.2.3)

Траекторії зміни змінних  та визначаються початковими значеннями цих змінних та системою рівнянь (2.3.1) — (2.3.4). Частинний розв’язок цієї системи

	(2.3.5)
	(2.3.6)
	(2.3.7)
	(2.3.8)

де

	(2.3.9)
	(2.3.10)
	(2.3.11)
	(2.3.12)

З (1.4), (2.3.6), (2.3.7), (2.3.10) та (2.3.11) випливає, шо рівноважна траекторія росту  зайнятості визначається рівнянням 

(2.3.13)

Отже, рівноважна і оптимальна траекторії зайнятості співпадають. Крім того з (2.3.10) та (2.3.11) маємо

(2.3.14)

 тобто рівноважне  відношення основного капіталу  до випусу залежить від  але не залежить від . Незалежність цього відношення від пояснюється рівністю рівноважного і оптимального пропорційних рівнів зайнятості.

Ці результати свідчать про те, що при використанні комбінованої грошової та бюджетної політики, що визначається рівнянням (2.1.39) та (2.1.1) рівноважний пропорційний рівень зайнятості та рівноважне відношення основного капіталу до випуску продукції можна регулювати незалежно одне від одного, і що ці величини не залежать від . Розглянемо тепер співвідношення між стійкістю системи та значенням параметру .

З рівнянь (2.3.1) — (2.3.4) та (2.3.9) — (2.3.12) отримуємо

	(2.3.15)
	(2.3.16)
	(2.3.17)
	(2.1.55)

де

Точні траекторії зміни змінних  визначаються початковими значеннями цих змінних і системою рівнянь (2.3.15) — (2.3.18), а наближені траекторії – тими ж початковими значеннями і системою лінійних рівнянь, які включають (2.3.15), (2.3.16), (2.3.18) та

(2.3.19)

Характеристичними коренями матриці коефіцієнтів останньої  системи є корені рівняння

(2.3.20)

де 

Зауважимо, що: , . Крім того, при умові та має місце нерівність , а якщо крім цього значення достатньо мале, виконується нерівність . Тобто, при додатньому може мати місце стабілізуючий вплив.

Припустимо, наприклад, що ; ; ; ; ; ; ; ; , , . При таких значеннях параметрів та при корені (2.3.20) рівні: ; ; , а при ці корені рівні: ; ; . Тобто, в цьому випадку вплив додатнього значення параметра проявляється якв збільшенні періода, так і в демпфуванні циклу, а також в більш швидкій збіжності до довгострокового тренду.  

Висновки

 

В кваліфікаційній роботі побудована математична модель економічної  системи, яка включає основні  закономірності її функціонування. Створена програма, дозволяє наглядно продемонструвати основні залежності економічних процесів. Зокрема, можна побачити, зміна яких параметрів економічної системи веде до інфляційних процесів. Також можна уточнювати параметри вибору фінансової політики з метою одержання найкращіх результатів. Основним висновком, є висновок про сильну взаємозалежність економічних показників між собою, і саме він є предметом дослідження в даній роботі.

Кваліфікаційна  робота Єнченко Максима. 1999 р.