Матрицы и операции над ними

Вопрос 1.Матрицы  и операции над ними

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Матрица состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом: А=(а11 а 12,…, а 1n) – матрица – строка. В=(b11

b21

…

bm1) – матрица-столбец.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Если  число столбцов матрицы не равно  числу строк (m=n), то матрица называется прямоугольной.

Определение.  Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример: - симметрическая матрица

Определение. Матрица любой разменрности, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

Определение. Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки , называют диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы а11, а22, …, ann. Все недиагольные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Квадратная  матрица вида называется диагональной матрицей.

 

Основные  действия над матрицами

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

1. Сложение матриц.

Определение . Суммой матриц А и В одинаковой размерности m_xn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1А  + В = В + А.

2 (А + В) + С = А + (В + С) .

3Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим  еще раз, что складывать можно  только матрицы одинаковой размерности.

Пример

 

2. Вычитаение матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А — В = А + (—1) • В.

3. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения  матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).

2. k(A + B) = kA + kB.

3. (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е.       С = А + (-1)В.

Пример.

, тогда

 

4. Произведение двух матриц.

Замечание: Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. В противном случае произведение матриц не определено.

Произведением матрицы А размерности mxp и матрицы В размерности   называется матрица С  размерности  , каждый элемент которой   определяется формулой:

 

Обозначение: A×B = C;

Из  приведенного определения видно, что  каждый элемент матрицы С равен алгебраической сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.

Отсюда правило:

 

Свойства:

1) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить  единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А  + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

Пример.

При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет   Найдем элементы матрицы С: 

Итак,

Транспонирование  матриц

Определение. Матрицу А^Т называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы А^Т.(т.е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

А =

;   А^Т= ;