Место количественных методов в ист. исследованиях

сущностно-содержательная модель – результат анализа конкретно-научных представлений об объекте моделирования. выражает основные черты, закономерности и особенности функционирования исследуемых явлений и процессов и их теоретически допустимые состояния.

формально-количественное моделирование – формализированное выражение сущностно-содержательной модели посредством мат. средств.

имитационно-прогностические модели - используются для прогнозирования дальнейшего хода развития( модель должна имитировать функционирование). контрфактическое моделирование – показывают альтернативность исторического развития.

отражательно-измемрительные модели – отражает реальные, фактически имевшие место быть свойства явлений или процессов и выступает как показатель количественной  меры тех или иных свойств объекта. их цель – раскрытие сущности и внутренней обусловленности.

 

ГЛАВА 4. Вариационные ряды и их характеристики.

 

1. Вариационный  ряд.

Вариационные ряды – ряды данных, показывающие количественную меру того или иного признака у разных объектов, составляющих тут или иную их совокупность.

численный показатель величины признака в тот или иной момент  – динамический ряд (численность населения страны в тот или иной период).

Для анализа  статистической совокупности удобно ее упорядочить в

возрастающем  или убывающем порядке, такая  совокупность называется

вариационным (ранжированным) рядом, а единицы совокупности – вари-

антами (обозначаются xi , где i – номер варианты). Изменение (вариация)

признака, по которому обследуются объекты, может быть дискретным или

непрерывным. При дискретной вариации значения варианты отличаются

на некоторую  конечную величину и вариационный ряд называется дис-

кретным. При непрерывной вариации отдельные значения признака могут

отличаться  на сколь угодно малую величину и вариационный ряд называ-

ется интервальным.

Принципы  посторенние интервального ряда.

принцип равных интервалов – если совокупность однородна или признак изменяется необъяснимыми скачками.

принцип неравных интервалов – если совокупность не совсем однородна. при этом пытаются добиться качественной однородности объектов внутри интервала.

типологический принцип – определение типов однородных в соц.эконом. отношении. соц.-экономический анализ, направленный на определение границ интервалов там, где количественное изменение признака приводит к появлению нового качества.

способ специализированного  интервала – совокупность разбивается на однородные группы и для каждой строиться своя шкала интервалов.

посторенние:

1. определить величину интервала:   h = R/k, k – кол-во интервалов.

размах варьирования R - значений выборки: R = x_max - x_min,

 

плотность распределения – служит для обеспечения сравнимости частот для рядов с неравными интервалами. отношение частоты n_i интервала к ширине h_i этого интервала f _i = n_i / h_i /

укрупнение интервалов –для выявления закономерностей при небольшом числе наблюдений.

расщепление интервалов -  для сравнения двух вар. рядов, посторенных для одинаковых признаков, но с разными интервалами.

 

2. Основные  характеристики вариационного ряда.

характеристики – меры уровня, или средние. наиболее употребительные  в ист. иссл. – ср. арифметическая, мода и медиана.

средняя представляет собой количественную характеристику качественно однородной совокупности.

необходимо чтобы средняя не была слишком абстрактной и имела ясный смысл в решении задачи.

желательно свести к минимуму влияние  случайных колебаний выборки.

   Средняя арифметическая ( x ) – обобщающий показатель, выражающий

типичные размеры количественных признаков качественно однородных

явлений, определяется по формуле:

                                   n

                                  ∑ xi

                                  i =1

                             x= -----

                                    n      

где xi - варианта с порядковым номером i ( i =1,…n); n – объем совокупно-

сти.

    Мода (Мо) – варианта, которая чаще всего встречается в данном вариа-

ционном ряду.

    Медиана  (Ме) – варианта, находящаяся в середине вариационного ряда:

При нахождении медианы дискретного вариационного ряда следует различать два случая:

1) объем совокупности  нечетный; 
2) объем совокупности четный.

Если объем совокупности нечетный и равен 2n + 1, и варианты размещены в порядке возрастания их значений: то Me = x_{n + 1}. 

Если же количество элементов четное и равно 2n, то нет варинты, которая бы делила совокупность на две равные по объему части. Поэтому в качестве медианы условно берется полусумма варинт, находящихся в середине вариационного ряда:

Медиана используется, когда изучаемая совокупность неоднородна.Особое значение она приобретает при анализе ассиметричных рядов (ря-дов, у которых нагружены крайние значения вариант).

Средние позволяют охарактеризовать статистическую совокупность

одним числом, однако не содержат информации о том, насколько  хорошо

они представляют эту  совокупность. Для определения того, насколько

сильно варьируются  значения признака, используются такие характери-

стики, как размах вариации, дисперсия  и среднее квадратическое отклоне-

ние.

    Размах вариации (R) – это разность между наибольшим и наименьшим

значениями признака:

                            R = x max − x min .

При расчете двух других характеристик  меры вариации признака ис-

пользуются отклонения всех вариант  от средней арифметической. Эти ха-

рактеристики (дисперсия и среднее  квадратическое отклонение) нашли са-

мое широкое применение почти во всех разделах математической стати-

стики.

    Дисперсия (σ 2) – абсолютная мера вариации (колеблемости) признака в

статистическом ряду - средний квадрат  отклонения всех значений призна-

ка ряда от средней  арифметической этого ряда:

где xi - варианта с порядковым номером i ; x - средняя арифметическая;

n – объем совокупности.

    Для представления  меры вариации в тех же единицах, что и варианты,

используется среднее  квадратическое отклонение.

    Среднее  квадратическое отклонение (σ) – это квадратный корень из

дисперсии:

коэффициент вариации: позволяет сравнить вариацию одного и того же признака у разных групп объектов и выявить степень различия одного и тогоже признака у одной и той же группы объектов в разное время.

 

3. Графическое  представление вариационных рядов.

Существует несколько способов графического изображения рядов (диаграмма, гистограмма, полигон, кумулята и др.), выбор которых зависит от вида вариационного ряда и цели исследования.

Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот.

Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

 

ГЛАВА 5. Выборочный метод.

1. Общая характеристика  выборочного метода.

Выборочный  метод (виды выборок, принципы отбора); Множество всех единиц статистической совокупности называется генеральной совокупностью.

Из генеральной  совокупности особым образом отбирается часть элементов - формируется выборка, и результаты обработки выборочных данных распространяются на всю генеральную совокупность. Теоретической основой выборочного метода является закон больших чисел.

Однако для  характеристики всей генеральной совокупности могут служить лишь репрезентативные (представительные) выборки, т.е. выборки, которые правильно отражают свойства генеральной совокупности. В статистике доказано: чтобы выборка была репрезентативной, она должна быть случайной, т.е. каждая единица генеральной совокупности должна иметь равный шанс попасть в выборку. Сложнее решить вопрос о репрезентативности так называемых «естественных выборок», поскольку надежных математических методов проверки их репрезентативности не существует. Здесь на первый план выступает изучение истории происхождения данных и их содержательный анализ.

   Существует  несколько видов выборочного  изучения, позволяющих

формировать репрезентативные выборки: случайный, механический, типический и серийный отбор.

Случайным является такой отбор, при котором все элементы генеральной совокупности имеют равную возможность быть отобранными. На практике случайный отбор производится с помощью жеребьевки или использования разработанных в статистике таблиц случайных чисел.

Механический отбор сводится к тому, что генеральная совокупность разбивается на равные части и из каждой части берется одна единица. Например, 7, 17, 27, 37 и т.д.

Типический  отбор заключается в том, что генеральная совокупность

разбивается на типические группы, образованные по какому-либо признаку. Затем из каждой выделенной группы отбираются единицы либо случайно, либо механически.

Серийный  отбор предусматривает разбиение всей генеральной совокупности на группы (серии), из которых путем случайного или механического отбора выделяется их определенная часть, которая и подвергается сплошной обработке.

Многоступенчатый отбор применяется для многоступенчатых структур (последовательный отбор на каждой ступени совокупности).

 

2. Стандартные  ошибки выборок.

Ошибки репрезентативности  показывают, насколько хорошо характеристики выборки представляют соответствующие характеристики генеральной совокупности.

Систематические – возникают в том случае, если неправильно выполнены условия отбора.

Случайные – за счет того что для анализа всей совокупности используется только ее часть.

Величина ошибки выборки  – разность между генеральной и выборочной средними.

Средняя ошибка выборки  при случайном повторном отборе

q- оценка среднего квадратического отклонения, n – число элементов в выборке.

средняя ошибка выборки при случайном бесповторном отборе.

  , N- объем генеральной совокупности, (запятой в формуле нет).

средняя ошибка при механическом отборе вычисляется по этой же формуле.

 

 

 

 

 

 

Средняя арифметическая типической выборки.

Xi – средняя арифметическая выборки из i-й типической группы, Ni – объем из i-й типической, N – объем ген. совокуп.

 

Способ определения  объема выборки для каждой типической группы.

1. объем всей намеченной выборки делят на число типических групп: n1=n/k.

2. объемы выборок из групп  устанавливаются пропорционально  объемам соответствующих типических групп: n1=nN1/N.

3. число элементов в выборке  для каждой тип. группы определяется  пропорциональной ср. вадр. отклонениям соотв. тип. групп. n1= qi*n/ kWi=1*qi (вместо q сред. квадр. откл)

средняя ошибка выборки для доли признака – оценка доли признака во всей совокупности.

q=N0/N.

 

3. Точность  и надежность выборочного метода: предельные ошибки. Определение объема выборки.

Предельная ошибка - максимально возможное расхождение средних или максимум ошибок при

заданной вероятности  ее появления. После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Эти два  вида ошибок связаны следующим соотношением:

Δ=tμ,

где Δ - предельная ошибка выборки; μ - средняя ошибка выборки; t - коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности р.

Определение объема выборки.

1. пробная выработка произвольного  объема (10% или 20%-ые выборки, если  недостаточно впоследствии дополнить  до нужного объема.)

При организации выборочного наблюдения большое значение имеет правильное определение необходимой численности выборки. Формула объема выборки получается из соответствующей формулы предельной ошибки. Например, при определении средней: 
 
  q2 – дисперсия признака, вычисленная по пробной выборке;  Δ – заданная точность результатов выборочного исследования; t – величина, которая находится по табл. 1 приложения исходя из заданной надежности Р результатов выборочного исследования.

 

4. Малые  выборки.

малые выборки – 20-30 единиц совокупности.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно  в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Так, при  случайном повторном отборе средняя  ошибка определяется по формуле: µ = s / √n где: s - выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение; n - объем выборочной совокупности.