Метод интервалов

Метод интервалов

 

         В основе этого метода лежит  следующее свойство двучлена x - a: точка a  делит числовую ось  на две части – справа точки  a  двучлен  x - a положительный,  а слева от точки a  – отрицателен  x - a.

 

         Пусть требуется решить неравенство (x - a1)(x - a2)...(x - an) > 0 , где  a1, a2, ..., an  – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что a1 <  a2 <  ..< an - 1 <  an .

 

Рассмотрим функцию f(x) = (x - a1)(x - a2)...(x - an). Для любого числа x0  такого, что x0 > an, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит,  f(x0) > 0. Для любого числа x1 , взятого из интервала (an - 1; an), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - an), положительно, поэтому число f(x1) < 0  и т.д.

 

На этом рассуждении  и основан метод интервалов, состоящий  в следующем: на числовую ось наносят  числа  a1, a2, ...,an - 1, an ; в промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа an , ставят знак плюс, а в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем – знак плюс, затем – знак минус и т. д.

 

Тогда множеством всех решений  неравенства  (x - a1)(x - a2)...(x - an) > 0 будет  объединение всех промежутков, в  которых стоит знак плюс: П(f + ), а  множеством решений неравенства  (x - a1)(x - a2)...(x - an) < 0  , где  , будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус:П(f- - ).

 

Метод интервалов можно  применять и при решении неравенств вида f(x)g(x)0, где f(x)  и  g(x)  функции, так как это неравенство  равносильно неравенству f(x)g(x)0.  

 

Пример 1. Решить неравенство (x + 3)(x - 4) (2x  + 5) < 0.

 

Решение. Перепишем неравенство в виде

 

2(x - (- 3))(x - (- 2,5))(x - 4) < 0 . Отметим  на координатной оси числа  -3, -2,5 и 4 . Определим знаки на промежутках и  расставим знаки плюс и минус так, как указано на рисунке.Решениями неравенства будут все x  из объединения промежутков (−;−3)  и  (-2,5; 4).

 

Ответ: (−;−3)(−25;4)

 

 

Пусть требуется решить неравенство (x - a1)k1(x - a2)k2...(x - an - 1)kn - 1(x - an)kn > 0,  где k1, k2, ...,  kn - 1,  kn  – целые положительные числа; a1, a2, ...,an - 1, an   – действительные числа, среди которых нет равных, причем такие, что a1 <  a2 <  ..< an - 1 <  an .

 

 Рассмотрим свойство  двучлена (x - a)n . Точка  a  делит числовую ось на две части, причем:

если n  четное, то выражение (x - a)n  справа и слева от точки a  сохраняет положительный знак;

если n  нечетное, то выражение (x - a)n  справа от точки a  положительно, а слева от точки a отрицательно.

 

Рассмотрим функцию f(x) = (x - a1)k1(x - a2)k2...(x - an - 1)kn - 1(x - an)kn,  где a1 <  a2 <  ..< an - 1 <  an.

 

Для любого числа x0 такого, что x0 >  an, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении положительно, а значит, f(x0) > 0 . Для  любого числа  x1, взятого из интервала  (an - 1; an), соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя  (x - an)kn, положительно, если kn  – четное число, и отрицательно, если  kn   – нечетное число. Поэтому число f(x1) < 0 ,  если  kn   – нечетное число и   f(x1) > 0 , если  kn  – четное число. Аналогично определяется  знак функции f(x)  на любом интервале.

 

Таким образом, на числовую ось наносят  числа  a1, a2, ...,an - 1, an . В промежутке справа от наибольшего из них, т. е. числа  an , ставят знак плюс, а затем, двигаясь, справа налево, при переходе через очередное число   меняют знак, если   kn   – нечетное число и сохраняет знак, если  kn   – четное число.

 

Пример 2. Решить неравенство (x + 7)(2x - 5)3(6 - x)5(3x + 10)4 < 0 .

 

Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде (x - ( -7))(x - ( -310))4(x -2,5)3(x - 6) > 0. На числовой оси отметим числа -7, -10/3, 2,5 и 6. Справа от наибольшего числа 6 ставим знак плюс.  

При переходе через точку x = 6  функция

 

f(x) = (x - ( -7))(x - ( -310))4(x -2,5)3(x - 6) меняет знак, так как двучлен (x - 6)  содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке (2,5; 6) ставим знак минус. При переходе через точку x = 2,5  функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x - 2,5)   содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке (-10/3; 2,5) ставим знак плюс. 

 

 

 

При переходе через точку x = -10/3 функция f(x)  не меняет знака, так как двучлен (x -( -10/3))   содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке(-7;-10/3) ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку  x = 7   функция f(x)  меняет знак, так как двучлен (x - ( -7))  содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  (−;7) ставим знак минус. Решением неравенства (x + 7)(2x - 5)3(6 - x)5(3x + 10)4 < 0, а значит, и равносильного ему неравенства (x - ( -7))(x - ( -310))4(x -2,5)3(x - 6) > 0  будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс.

 

Ответ: x(−7;−310)(−310;25)(6;+).