Методы и модели игры

или

.

 

Пример 16.

1-й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.

2-й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}.

3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, не зная ни значения х, ни значения у.

После этого игроки расплачиваются по правилу, указанному в примере 15.

Графическое представление этой игры показано на рис. 6.

Рис. 6

 

Ясно, что у игрока А те же четыре стратегии, что и в примере 15:

A₁ – [1, 1], A₂ – [1, 2], A₃ – [2, 1], A₄ – [2, 2].

У игрока В всего две стратегии:

B₁ – выбрать y = 1, B₂ – выбрать y = 2

В этом случае (весьма слабой информированности  игроков) таблица выигрышей игрока A и соответствующая матрица строятся совсем просто. Имеем

		В1	В2
		y = 1	y = 2
А1	(1, 1)	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 1)
А2	(1, 2)	W(1, 1, 2)	W(1, 2, 2)
А3	(2, 1)	W(2, 1, 1)	W(2, 2, 1)
А4	(2, 2)	W(2, 1, 2)	W(2, 2, 2)

Оптимальные смешанные стратегии  игроков и цена игры соответственно равны:

В следующем примере информационные множества выглядят немного иначе.

Пример 17.

1-й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.

2-й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}.

3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, зная выбор у игрока В на 2-м ходе, но не помня собственного выбора х на 1-м ходе.

После этого игроки расплачиваются по правилу, указанному в примере 15.

Графическое представление этой игры показано на рис. 7.

Рис. 7

 

Поскольку игроку В неизвестен выбор игрока А на 1-м ходе, то, выполняя свой ход, он не знает, в какой именно из двух возможных позиций он находится. Поэтому у игрока В всего две стратегии:

B₁ – выбрать y = 1, B₂ – выбрать y = 2

При описании стратегий игрока А нужно исходит из того, что к 3-му ходу игрок А утратил сведения о собственном выборе на 1-м ходе, но ему известен выбор игрока В на 2-м ходе. Поэтому выбор числа z игроку А следует связать с известным ему к 3-му xоду значением у. Удобнее всего это сделать по аналогии с расчетом стратегий игрока В в примерах 13 и 15, т. е. при помощи упорядоченной пары

[z₁, z₂]

Здесь z₁ (z₁ = 1, 2) — альтернатива, выбираемая игроком А при условии, что игрок В выбрал первую альтернативу, у = 1, a z₂ (z₂ — 1, 2) — альтернатива, выбираемая игроком А при условии, что игрок В выбрал вторую альтернативу, у = 2.

Чистую стратегию игрока А в данной игре можно записать так

(x, [z₁, z₂]).

Здесь х (х = 1, 2) — альтернатива, которую игрок А выбирает на 1-м ходе, z₁ (z₁ = 1, 2) — альтернатива, которую игрок А выбирает на 3-м ходе, если на 2-м ходе игрок В выбрал выбрал первую альтернативу (у = 1) и z₂ (z₂ — 1, 2) — альтернатива, которую игрок А выбирает на 3-м ходе, если на 2-м ходе игрок В выбрал вторую альтернативу (у = 2).

Например, выбор игроком А стратегии (2, [2, 1]) означает, что на 1-м ходе игрок А выбирает x = 2, а на 3-м z = 2, если игрок В выбрал у = 1, и z = 1, если игрок В выбрал у = 2.

Тем самым, у игрока А восемь чистых стратегий:

A₁ — (1, [1, 1]),  A₂ — (1, [1, 2]), A₃ — (1, [2, 1]), A₄ — (1, [2, 2]),

A₅ — (2, [1, 1]),  A₆ — (2, [1, 2]), A₇ — (2, [2, 1]), A₈ — (2, [2, 2]),

Покажем теперь, как в зависимости от применяемых стратегий определяются элементы таблицы выигрышей игрока А.

Пусть, например, игрок А выбрал стратегию A₃ — (1, [2, 1]), а игрок В — стратегию В₂ — (2). Тогда x = 1, у = 2, а из [2, 1] вытекает, что z = 1. Отсюда

W(x, y, z) = W(1, 2, 1) = 1.

По этой же схеме вычисляются  и остальные элементы таблицы.

В результате получаем

 

 

			В1	В2
			(1)	(2)
А1	(1, [1, 1])		W(1, 1, 1)	W(1, 2, 1)
А2	(1, [1, 2])		W(1, 1, 1)	W(1, 2, 2)
А3	(1, [2, 1])		W(1, 1, 2)	W(1, 2, 1)
А4	(1, [2, 2])		W(1, 1, 2)	W(1, 2, 2)
А5	(2, [1, 1])		W(2, 1, 1)	W(2, 2, 1)
А6	(2, [1, 2])		W(2, 1, 1)	W(2, 2, 2)
А7	(2, [2, 1])		W(2, 1, 2)	W(2, 2, 1)
А8	(2, [2, 2])		W(2, 1, 2)	W(2, 2, 2)

 Оптимальные смешанны* стратегии  игроков и цена игры соответственно  равны:

Рассмотрим позиционную игру со случайным ходом.

Пример 18.

1-й ход производится случайно: игрок О выбирает число х, равное 1, с вероятностью 0,5 и равное 2 с такой же вероятностью.

2-й ход делает игрок А: он выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, не зная результатов случайного выбора на 1-м ходе.

3-й ход делает игрок В: он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, зная о том, какое именно число х случайно выбрано игроком О на 1-м ходе и не зная выбора у игрока А на 2-м ходе.

После этого игроки расплачиваются, используя функцию W(x, y, z), ту же. что и в предыдущих примерах.

Графическое представление этой игры показано на рис.8.

Рис. 8

Опишем стратегии игроков

Поскольку игроку А исход случайного испытания неизвестен, то он имеет всего две стратегии:

А₁ – (1), А₂ – (2),

При построении своих стратегий  игроку В естественно воспользоваться имеющейся у него информацией о результате 1-го хода. Это позволит ему описать свою стратегию упорядоченной парой

[z₁, z₂].

Здесь z₁ (z₁ = 1, 2) — альтернатива, выбираемая игроком В при условии, что х = 1, a z₂ (z₂ = 1, 2) — альтернатива, выбираемая игроком В при условии, что х = 2. Тем самым, у игрока В четыре стратегии:

В₁ — [1, 1], В₂ — [1, 2], В₃ — [2, 1], В₄ — [2, 2].

Покажем теперь, как определяются элементы таблицы выигрышей игрока А.

Пусть, например, игрок А выбрал стратегию А₁ — (1), а игрок В — стратегию В₃ — [2, 1].

Различаются два случая

1) х = 1       и      2) х = 2.

Если х = 1, то стратегия В₃ указывает игроку В₃ его Выборг z = 2. А так как у = 1, то в результате имеем

W(x, y, z) = W(1, 1, 2) = 4.

Если х = 2, то стратегия В₃ указывает игроку В его выбор z = 1. А так как у = 1, то в результате

W(x, y, z) = W(2, 1, 1) = 3.

Поскольку первая и вторая альтернативы на 1-м ходе выбираются с вероятностями 0,5 и 0,5, то и вышеуказанные выигрыши появляются с теми же вероятностями и, следовательно, средний выигрыш игрока А при этих стратегиях определяется так

4 x 0,5 + 3 x 0,5 = 3,5.

Аналогичным образом рассчитывая  остальные средние выигрыши, получаем при х = 1

		В1	В2	В3	В4
		[1, 1]	[1, 2]	[2, 1]	[2, 2]
А1	(1)	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 2)	W(1, 1, 2)
А2	(2)	W(1, 2, 1)	W(1, 2, 1)	W(1, 2, 2)	W(1, 2, 2)

или

,

при х = 2

		В1	В2	В3	В4
		[1, 1]	[1, 2]	[2, 1]	[2, 2]
А1	(1)	W(2, 1, 1)	W(2, 1, 1)	W(2, 1, 2)	W(2, 1, 2)
А2	(2)	W(2, 2, 1)	W(2, 2, 2)	W(2, 2, 2)	W(2, 1, 1)

или

.

Искомая матрица игры имеет следующий  вид

.

Наконец, рассмотрим пример позиционной  игры со случайным разыгрыванием права первого хода.

 

Пример 19.

1-й ход делает игрок О, выбирая число х, равное 1 с вероятностью 2/3 и равное 2 с вероятностью 1/3.

Если х = 1, то на 2-м ходе игрок А выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе, а на 3-й ходе игрок В выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, зная х, но не зная у.

Если x = 2, то на 2-м ходе игрок В выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе, а на 3-м ходе игрок А выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, зная х, но не зная у.

После этого игроки расплачиваются, используя функцию W(x, y, z), ту же, что и в предыдущих примерах.

Графическое представление этой игры показано на рис. 9.

Рис. 9

 

Чистую стратегию игрока А в данной игре можно описать упорядоченной парой

где у (у = 1, 2) — выбор игрока А на 2-м ходе, если на 1-м ходе выбрано х = 1, а z (z = 1, 2) — выбор игрока А на 3-м ходе, если на 1-м ходе выбрано х = 2.

Например, стратегия |1, 2| означает, что на 2-м хода игрок А выбирает у = 1, а на 3-м ходе — z = 2.

Тем самым, у игрока А четыре стратегии:

А₁ — |1, 1|, А ₂ — |1, 2|, А ₃ — |2, 1|, А ₄ — |2, 2|.

У игрока В те же четыре стратегии:

В₁ — |1, 1|, В₂ — |1, 2|, В₃ — |2, 1|, В₄ — |2, 2|.

Покажем теперь, как находятся элементы матрицы выигрышей игрока А.

Пусть, например, игрок А применяет стратегию А₂ — |1, 2|, а игрок В — стратегию В₃ — |2, 1|.

Различаются два случая

1) х = 1       и      2) х = 2.

По условию при х = 1 игрок А имеет возможность сделать только 2-й ход (выбрать у), а игрок В — только 3-й (выбрать 2). При х = 2 их возможности меняются местами: игроку В предоставлено право 2-го хода (выбрать у), а игроку А — 3-го (выбрать z). .

Если х = 1, то стратегия А₂ указывает игроку А при 2-м ходе взять у = 1, а стратегия В₃ указывает игроку В при 3-м ходе взять z = 1. В результате

W(x, y, z) = W(1, 1, 1) = -2.

Если х = 2, то стратегия B₃ указывает игроку В при 2-м ходе взять у = 2, а стратегия А₂ указывает игроку А при 3-м ходе взять z = 2. В результате

W(x, y, z) = W(2, 2, 2) = 5.

Поскольку первая и вторая альтернативы на 1-м ходе выбираются соответственно с вероятностями 2/3 и 1/3, то и найденные  выигрыши появляются с теми же вероятностями. Следовательно, математическое ожидание выигрыша игрока А при таких стратегиях рассчитывается так

.

Итак,

при х = 1

		В1	В2	В3	В4
		|1, 1|	|1, 2|	|2, 1|	|2, 2|
А1	|1, 1|	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 2)	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 2)
А2	|1, 2|	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 2)	W(1, 1, 1)	W(1, 1, 2)
А3	|2, 1|	W(1, 2, 1)	W(1, 2, 2)	W(1, 2, 1)	W(1, 2, 2)
А4	|2, 2|	W(1, 2, 1)	W(1, 2, 2)	W(1, 2, 1)	W(1, 2, 2)

или

,

при х = 2

 

		В1	В2	В3	В4
		|1, 1|	|1, 2|	|2, 1|	|2, 2|
А1	|1, 1|	W(2, 1, 1)	W(2, 1, 1)	W(2, 2, 1)	W(2, 2, 1)
А2	|1, 2|	W(2, 1, 2)	W(2, 1, 2)	W(2, 2, 2)	W(2, 2, 2)
А3	|2, 1|	W(2, 1, 1)	W(2, 1, 1)	W(2, 2, 1)	W(2, 2, 1)
А4	|2, 2|	W(2, 1, 2)	W(2, 1, 2)	W(2, 2, 2)	W(2, 2, 2)