Методы решения уравнений

 

 

 

 

 

 

 

Метод Крамера.

Габриэ́ль Кра́мер — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

Самая известная из работ  Крамера — изданный незадолго до кончины трактат «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке («Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique», 1750 год). В нём впервые доказывается, что алгебраическая кривая n-го порядка в общем случае полностью определена, если заданы еёn(n + 3)/2 точек. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера.

Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратнойматрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем —определителем матрицы. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное. Что касается числителей в столбце решений, то они подсчитываются аналогично: n-й числитель есть определитель матрицы, полученной заменой n-го столбца исходной матрицы на столбец свободных членов.

Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу, Вандермонда иКэли, которые и завершили создание основ линейной алгебры. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т.д.

Крамер провёл классификацию алгебраических кривых до пятого порядка включительно. Любопытно, что во всём своём содержательном исследовании кривых Крамер нигде не использует математический анализ, хотя он бесспорно владел этими методами.

Метод Гаусса.

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс  немецкий математик, механик, физик иастроном^[1]. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»^[2]. Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Историческая  справка

Метод Гаусса был  предложен известнейшим немецким математиком  Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и  является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса включает в  себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения  систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

 

Система уравнений - это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Метод Гаусса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Для того, чтобы найти решение системы уравнений методом Гаусса и чтобы решение было единственным необходимо, чтобы количество уравнений было равно количеству переменных в системе, тоесть необходимо, чтобы система была квадратной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод.

Из целей и задач, стоящих перед выполнением данной работы, следует то, что у учащихся проявляется интерес к данному предмету. Работая с материалом мы узнали о новых методах и об истории развития алгебры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В результате работы по сбору  материала о методах решения  уравнения, мы заглянули в прошлое  и узнали то,  как им достались  эти открытия. Мы выполнили цель, поставленную перед нами. Донесли  информацию до слушателей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1. http://ru.wikipedia.org/wiki
2. http://images.yandex.ru/yandsearch
3. С. Я. Серовайский «ВЕЧНЫЕ ТАЙНЫ УРАВНЕНИЙ» Математика. Республиканский научно-методический журнал. 2008г, №№ 4-6
4. http://yourtutor.info
5. А.Г. Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» Часть 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №11.