Методы решения уравнений

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОДИНЦОВСКОГО РАЙОНА МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

 КУБИНСКАЯ СОШ №1

 

Проектная работа по теме: «Методы  решения уравнений»

 

 

 

 

 

 

 

Подготовили:

Хлопецкая Олеся Дмитриевна

Учащаяся 11-А класса;

 

Горнова Ольга Александровна

Ученица 11-А класса;

 

Сухотина Татьяна Вячеславовна

Ученица 11-А класса;

 

Нерекин Кирилл Сергеевич

Ученик 11-А класса;

 

Руководитель:

Князева Алла Михайловна

Учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

 

г.Кубинка – 2012 год.

 

 

 

 

 

Оглавление.

1. Введение ………………………………………………………………3стр.

Цель и задачи…………………………………………………………..4стр.

2. Основная часть:

1. Зарождение алгебры……………………………………………..5-8стр.
2. Метод разложения на множители……………………………….8-9стр.
3. Метод введения новой переменной……………………………9-14стр.
4. Функционально графический метод…………………………14-19стр.
5. Метод Камера…………………………………………………….19-стр.
6. Метод Гаусса…………………………………………………..20-21стр.

3. Вывод……………………………………………………………….....22стр.

4. Заключение……………………………………………………………22стр.
5. Список литературы…………………………………………………...23стр.
6. Приложение…………………………………………………….…24-35стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Решить уравнение  значит найти все его корни  или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений.

 

Мы поговорим  об общих идеях, на которых основано решение уравнений, о наиболее общих  методах, используемых при решении  уравнений любых видов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель:

• Научиться решать уравнения разными методами и узнать историю зарождения алгебры.

 

 

Задачи:

• Рассказать о методах решения уравнений;
• Узнать о новых методах решения уравнении;
• Познакомиться с историей данного примера;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зарождение  алгебры

Уже в глубокой древности  люди умело использовали числа и  геометрические построения. По мере развития цивилизации совершенствовались необходимые знания и навыки. Однако на числа и фигуры упорно продолжали смотреть исключительно как на полезные средства для решения конкретных прикладных задач… Но более двух с

половиной тысяч  лет назад в истории человечества произошло что-то качественно новое…

Великие мудрецы  Древней Греции взглянули на мир  откуда-то сверху. И вот в шестом веке до нашей эры Пифагор(приложение№1) провозгласил, что всё, происходящее вокруг нас, сводится к числам. А, стало быть, числа следует изучать сами по себе, а не только пользоваться ими для практических вычислений. И в итоге появилась математика и ее первый раздел –

арифметика (теория чисел). А два века спустя Евклид(приложение№2) систематизировал все известные наработки в области геометрических объектов и разработал свою удивительно стройную теорию. А чуть раньше гениальные прозрения Евдокса ввели в математику совершенно иные конструкции. От этих работ, в значительной степени развитых Архимедом(приложение№3), берет свое начало математический анализ… Ну а как же алгебра?

Издавна люди обратили внимание на то, что между различными величинами, встречающимися в повседневной жизни, существует какая-то причинно-следственная связь. Некоторые из этих величин поддавались непосредственному измерению. А вот другие, напротив, могли быть определены исключительно косвенно – посредством указанной связи. С математической точки зрения, соотношения между известными и неизвестными величинами представляли собой уравнения. Решение подобных задач сводилось к непосредственному определению этих самых неизвестных – корней уравнения, к выражению их через известные параметры – коэффициенты. Такие проблемы возникали повсеместно. Естественно, люди их решали. Но вот осознание необходимости разработки единой самостоятельной теории для решения разнообразных уравнений, возникающих в жизни, пришло удивительно поздно. Сменялись века. Уже ни одно поколение математиков уверенно развивало аппарат геометрии, арифметики и анализа. Но алгебры как таковой еще не было…

Крупнейшим центром  мировой культуры становится Багдад. Там в 9 веке работал выходец из Средней Азии Мухаммед аль-Хорезми(приложение№4).

Это из его трактата "Об индийском счете" европейцы  впоследствии узнали о десятичной системе, которую они назвали арабской. Ну а его главный труд "Китаб аль-джебр валь-мукабала" стал одним из наиболее известных математических трактатов. Само слово "аль-джебр", обозначающее процедуру переноса вычитаемых членов равенства в другую его часть, впоследствии трансформировавшееся в "алгебру", стало названием всего раздела математики. Более того, термин "алгоритм", играющий ключевую роль в вычислительной Мухаммед аль-Хорезми математике, математической логике и информатике, происходит от имени аль-Хорезми.

Собственно, трактат  аль-Хорезми и представляет собой свод алгоритмов решения линейных и квадратных уравнений, как правило, восходящих к конкретным приложениям. Это было практическое руководство, позволяющее путем цепочки четко расписанных действий найти решение задачи. Прежде всего, аль-Хорезми классифицирует уравненияпо методам их решения. Ну а затем для каждого выделенного класса следуют четкие указания, что конкретно следует предпринять, чтобы найти корень уравнения, т.е., как бы мы сейчас сказали, дается описание алгоритма решения задачи. Аль-Хорезми отмечает двузначность квадратного корня, вследствие чего, к примеру, уравнение 2x =1 имеет два решения: 1 и –1. Мнимые числа ему не известны. Поэтому некоторые квадратные уравнения, например, 2x = −1 остаются за пределами его исследований.

В 17 веке началась война  между Испанией и Францией. Война носит затяжной характер. В такой ситуации многое решает разведка. Испанский король спокоен. Его заверили, что никому не под силу расшифровать его секретные донесения. Однако с некоторых пор все сокровенные тайны мадридского двора становятся известны противнику, вследствие чего французы смогли переломить ход войны в свою пользу. Испанский король в отчаянии пишет гневное послание папе римскому: короля Генриха следует отлучить от церкви, поскольку только с помощью дьявола он мог расшифровать тайную переписку испанцев. Однако французам помогал не дьявол, а один штабной офицер, личный советник короля. Впрочем, из-за придворных интриг он вскоре потерял место при дворе и полностью посвятил себя математическим исследованиям. А в результате теория уравнений, да и математика в целом вступили на новый этап своего развития. Его звали Франсуа Виет(приложение№5).

Прекрасно знакомый с работами итальянских математиков, Виет решил разработать единую теорию алгебраических уравнений. И он осознал, что таковая невозможна без специальной математической символики. И Виет использует буквенные обозначения как неизвестных величин и коэффициентов уравнения, применяет скобки при записи арифметических выражений. Трудно себе представить, как можно было проводить математические исследования без привычного нам языка формул. Кое-какие элементы символики были у Кардано и Бомбелли, и даже у Диофанта. Но они носили эпизодический характер.

После Виета в  теории уравнений остались не решенными  две проблемы. Стоило Кардано и его предшественникам подобрать ключ к решению кубического уравнения, как тут же Феррари указал способ решения уравнений четвертой степени. Казалось, так же быстро будет найдено решение уравнения пятой степени. Если переход от степени 3 кстепени 4 оказался столь простым, то и выход к следующей степени не должен, как будто, вызывать особых затруднений. Эту задачу просто обязан был решить, если не Бомбелли, то Виет... Но ничего подобного почему-то не произошло…

Но, если не получается формула для решения алгебраических уравнений старших степеней (начиная с пяти), то, быть может, удастся хотя бы оценить количество этих решений. Уже аль-Хорезми знал, что квадратное уравнение имеет два корня. После введения Кардано кратных корней и использования комплексных чисел стало ясно, что кубическое уравнение всегда должно иметь три решения. Ну а Виет говорил про n корней уравнения n-ой степени. Но можно ли строго доказать, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет в точности n решений (некоторые из них могут совпадать, имея кратность больше единицы)? Это утверждение, получившее громкое название основной теоремы алгебры, пока еще не было обосновано.

Решение уравнения  пятой степени, на первый взгляд, казалось более простой задачей. Ведь в  основной теореме алгебры говорится  об уравнении произвольной степени. Естественно, конкретный случай проще  общего. Однако найдя решение, мы автоматически доказываем его существование, в то время как, установив сам факт наличия корня, мы его еще не получаем. В задаче нахождения решения уравнения пятой степени долгое время никто ни мог ничего добавить сверх того, что было получено Виетом. Но каждое поколение математиков упорно пыталось доказать основную теорему алгебры.

Формулировку основной теоремы дал немецкий математик  Петер Роте уже через несколько лет после смерти Виета. А вскоре Альбер Жирар(Приложение№6) и Рене Декарт(приложение№7) предприняли отчаянную попытку ее доказательства, но так и не добились успеха. В восемнадцатом веке различные доказательства основной теоремы алгебры дали такие блистательные математики, как Колин Маклорен, Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж, Пьер Симон Лаплас. Но их рассуждения не отличались должной строгостью... Ближе других подошел к решению задачи один из крупнейших математиков восемнадцатого века Жан Д’Аламбер(приложение№8). Однако и его доказательство содержало один пробел, а значит, не могло быть признано удовлетворительным. Всё говорило о том, эта проблема так и перейдет в девятнадцатый век… Однако под самый конец века, в 1799 году основная теорема алгебры была-таки, наконец, окончательно доказана. Это сделал Карл Фридрих Гаусс(приложение№9), которого по праву

называли королем  математики.

Он первым пришел к идее неевклидовой геометрии и заложил основы дифференциальной геометрии. Дал интерпретацию комплексных чисел и описал гиперкомплексные числа. Разработал метод наименьших квадратов и

теорию ошибок. Предложил  метод решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса). Ввел понятие нормального

(гауссова) распределения  вероятности. А еще были теория

квадратичных форм и теория групп, законы взаимности в  теории чисел

и целые (гауссовы) комплексные числа, правила интерполирования и численного интегрирования, распределение простых чисел, понятия эквивалентности, нижней и верхней грани, фактор-множество и многое, многое другое…

Жозеф Луи Лагранж(приложение№10) заложил основы вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений. Он вывел формулу конечных приращений, определил двойной и тройной интегралы, обосновал разложение функций в степенной ряд, получил глубокие результаты из теории чисел и

теории функций  комплексного переменного.

 

 

Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается  в следующем: уравнение f(x)g(x)h(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений:

f(x)=0; g(x)=0; h(x)=0.

Решив уравнения  этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области  определения исходного уравнения, а остальные отбросить как  посторонние.

 

Пример 1. Решить уравнение sin4x = 3 cos2х.  
 
Решение:  
 
sin4x = 3 cos2х.  
 
2 sin2x cos2х = 3 cos2х 
 
Получив такое уравнение, ученики достаточно часто делают ошибку, «сократив» левую и правую части уравнения на cos2х. Некоторые из них при этом оговаривают, что cos2х  0,но одной оговорки здесь, увы, недостаточно. Необходимо ещё рассмотреть случай, когда cos2х = 0, и проверить, не являются ли значения х, удовлетворяющие этому равенству, корнями исходного уравнения. Разумеется, лучше всего не делить левую и правую части уравнения на cos2х, а разложить на множители 
 
(2 sin2x – 3) cos2х = 0. 
 
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 

2cos2x – 3=3 или cos2x=0

2sin2x=3 или 2x=П/2 +Пn, nЄZ

Sin2x=3/2 или x=П/4 +Пn/2, nЄZ

х =  , nЄZ. 
 
Первое уравнение решения не имеет, так как функция синус не может принимать значений по модулю больших единицы. К сожалению, не все ученики это понимают, а из тех, кто понимает, не всякий вспоминает вовремя. 
 
Ответ:  , nЄZ.