Модель линейной регрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Перейдём к построению пятой модели:

  Для этого из четвёртой модели исключим такие переменные, как Х₂,Х₃(т.к. не значимы). Включаем в модель переменные: Х₁,Х₄,Х₅,Х₉  и возвращаем Х₁₀ из первой модели (посмотреть, как себя поведёт в этой модели и r_yx10 = 0,90 –высокий уровень).

5-я модель (исключаем Х₂,Х₃,возвращаем Х₁₀):F=346,26, R²=0,98

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99
R-квадрат	0,98
Нормированный R-квадрат	0,97
Стандартная ошибка	33,33
Наблюдения	50
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	5,00	1923229,24	384645,85	346,26	0,00
Остаток	43,00	47766,40	1110,85
Итого	48,00	1970995,63
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-40674,51	6017,27	-6,76	0,00	-52809,49	-28539,52
х1	20,45	3,01	6,79	0,00	14,38	26,52
х4	-57,31	22,49	-2,55	0,01	-102,66	-11,95
х5	0,05	0,01	6,87	0,00	0,04	0,06
х9	141,15	24,63	5,73	0,00	91,49	190,82
х10	7,67	6,18	1,24	0,22	-4,80	20,15

• Полученная на пятой итерации модель имеет вид:

y = -40674,51 + 20,45Х₁ + (-57,31Х₄) + 0,05Х₅ + 141,15Х₉ + 7,67Х₁₀

              ^{(t=-6,76)       (t=6,79)          (t=-2,55)         (t=6,87)     (t=5,73)       (t=1,24)}

 

 

 

 

• Вычислим t_кр. = (0,05; 50-6), где 6-оцененных параметров (5 независимых и 1 зависимая).

 

                                 t_кр.= 2,02

 

 

 

 

 

 

Оценка значимости коэффициентов  регрессии:

Коэффициент	t-статистика	Сравнение с tкр. = 2,02	Гипотеза Hо: bi= 0	Доверительный интервал	0 принадлежит или нет ДИ	Вывод о значимости
-40674,51	-6,76	>	нет	(-52809,49; -28539,52)	нет	значим
20,45	6,79	>	нет	(14,38; 26,52)	нет	значим
-57,31	-2,55	>	нет	(-102,66; -11,95)	нет	значим
0,05	6,87	>	нет	(0,04; 0,06)	нет	значим
141,15	5,73	>	нет	(91,49; 190,82)	нет	значим
7,67	1,24	<	да	(-4,80; 20,15)	да	не значим

 

Вывод: включение в модель переменную Х₁₀ не принесло желаемый результатов (она оказалась не значимой), т.е. мы имеем 5 значимых коэффициентов регрессии из 6 с вероятностью 95%.

Значение F-статистики выросло до 346,26, значение коэффициента детерминации осталось на прежнем уровне R²=0,98.

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Перейдём к построению шестой модели:

 Для этого из пятой модели  исключим переменную Х_10,так как не значима.

6-я модель (ИТОГ): F=427,20, R2=0,97

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99
R-квадрат	0,97
Нормированный R-квадрат	0,97
Стандартная ошибка	33,53
Наблюдения	50
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4,00	1921518,81	480379,70	427,20	0,00
Остаток	44,00	49476,83	1124,47
Итого	48,00	1970995,63
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-42432,61	5883,85	-7,21	0,00	-54290,73	-30574,49
х1	21,34	2,94	7,25	0,00	15,41	27,27
х4	-65,88	21,53	-3,06	0,00	-109,28	-22,48
х5	0,05	0,01	8,34	0,00	0,04	0,07
х9	155,56	21,85	7,12	0,00	111,52	199,60

• Полученная на шестой итерации модель имеет вид:

y =  -42432,61+21,34Х₁ +(-65,88Х₄) + 0,05Х₅ +155,56Х₉

               ^{(t=-7,21)       (t=7,25)         (t=-3,06)          (t=8,34)     (t=7,12)}

• Вычислим t_кр.=(0,05;50-5),где 5-оцененных параметров (4 независимых и 1 зависимая).

                                    t_{кр.= 2,01}

 

 

 

 

Оценка значимости коэффициентов  регрессии:

Коэффициент	t-статистика	Сравнение с tкр. = 2,01	Гипотеза Hо: bi= 0	Доверительный интервал	0 принадлежит или нет ДИ	Вывод о значимости
-42432,61	-7,21	>	нет	(-54290,73; -30574,49)	нет	значим
21,34	7,25	>	нет	(15,41; 27,27)	нет	значим
-65,88	-3,06	>	нет	(-109,28; -22,48)	нет	значим
0,05	8,34	>	нет	(0,04; 0,07)	нет	значим
155,56	7,12	>	нет	(111,52; 199,60)	нет	значим

 

Вывод: Все коэффициенты статистически значимы с вероятностью 95%. Полученная модель по критерию Фишера является пригодной (F=427,20; R₂=0,97).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Интерпретация коэффициентов регрессии:(a-свободный коэффициент, b₁,b₄,b₅,b₉).

а) Все a, b₁, b₄, b₅, b₉ –статистически значимы;

б) H_o: b₁=b₄=b₅=b₉ =0 (гипотеза об отсутствии линейной функциональной связи).

Найдём F_кр.= F (α; k-1; n-k) = (0,05; 5-1; 50-5) => F_кр.= 2,58

F_о = 427,20 > 2,58 (F_кр.)

 

 

 

 

Вывод: F_о = 427,20  € d₁, следовательно, гипотеза Н_о отклоняется, принимается гипотеза Н₁,т.е. линейная функциональная связь между ценой автомобиля бизнес-класса и четырьмя независимыми переменными существует.

в) R₂=97% - показывает, что изменение стоимости автомобилей бизнес-класса на 97% объясняется изменениями следующих переменных: годом выпуска а/м, коробкой переключения передач, объёмом двигателя и техническим состоянием автомобиля; при этом оставшиеся 3% приходятся на другие неучтённые моделью факторы, такие как: Х₂,Х₃,Х₆,Х₇,Х₈,Х₁₀.

 

•  a (свободный коэф.)=-42432,61тыс.р.=>-42432610руб.–показывает, что, если независимые переменные будут =0,то цена на автомобиль бизнес-класса будет снижена на 42432610 руб.

 

• b₁=21,34тыс.р. => 21340р. – показывает, что, если год выпуска автомобиля бизнес-класса увеличить на 1 год, то её цена вырастит на 21 340 руб.

 

• b₄=-65,88 тыс.р. => -65 880р. – означает, что, если у автомобиля бизнес-класса будет МКПП, то её цена на такой автомобиль будет дешевле на 65 880р., по сравнению с АКПП.

 

• b₅=0,05 тыс.р. => 50р. – показывает, что, если объём двигателя автомобиля увеличить на 1см³, то цена на такой автомобиль будет дороже на 50р.

 

• b₉=155,56 тыс.р.=>155 560р. – показывает, что, если у автомобиля будет отличное техническое состояние, то она будет дороже на 155 560р.

 

 

 

 

• Рассчитаем коэффициент частной эластичности:

Э_i = * Ẍ  =>

 

Э₁=   * 2007,6 = 63,2 %

Вывод: цена автомобиля бизнес-класса увеличится на 63,2%, если год выпуска увеличить на 1%.

                 Э₅= * 4088 = 3,02%

Вывод: цена автомобиля бизнес-класса увеличится на 3,02%,если объём двигателя увеличить на 1%.

9. Точечный прогноз:

Рассчитаем цену на автомобиль бизнес-класса согласно следующим условиям:

Пусть: год выпуска автомобиля будет 2010 год (Х₁); автомобиль с АКПП (Х₄);

объём двигателя а/м =4000см³ (Х₅) и автомобиль бизнес-класса будет с отличным (1) техническим состоянием (Х₉).

 

 

y = -42432,61+ 21,34*2010 - 65,88*0 + 0,05*4000 + 155,56*1 = 816 350 рублей.

              ^{(t=-7,21)         (t=7,25)                  (t=-3,06)         (t=8,34)                     (t=7,12)}