Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Октября 2013 в 16:12, реферат
До другого століття до нашої ери завершилась аксіоматична побудова геометрії, викладена Евклідом в тринадцятитомній праці «Начала». Привласнений поколіннями практичний досвід вимірювання кутів, довжин і площ перетворився у стійку математичну теорію з аксіомами і постулатами, теоремами, означеннями, доведеннями. З’явились основні діючі лиця геометрії: точка, площина, пряма.
Модель Пуанкаре
Ні одна геометрія не може бути
Анрі Пуанкаре
До другого століття
до нашої ери завершилась
Та дещо таємне відчувалось в цих абстрактних поняттях. Практична діяльність людей, особливо в той час, не могла підказати, що ж відбувається з прямими лініями дуже далеко, «на нескінченності». Можливо, з цієї причини знамениту аксіому про паралельні (V постулат) Евклід сформулював обережно: якщо пряма перетинає дві прямі і утворює внутрішні односторонні кути в сумі менше двох прямих, то при необмеженому продовження цих двох прямих вони перетнуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.
Очевидно, древні люди остерігались оперувати з нескінченністю, вважаючи площину ніби склеєною із звичних свідомості однакових кінцевих частин. Це не випадково. Згідно з існуючими тоді уявленнями, Земля вважалась великим плоским диском. Настільки великим, що виміряти його було неможливо. Та й не потрібно, в цьому не було необхідності – дуже ж вузькими були просторові межі опізнаного світу.
В епоху далеких мандрів та географічних відкриттів ці межі значно розширились; та потребувались ще століття, перш ніж зміна уявлень про навколишній світ відбилась на розвитку геометрії. Так чи інакше, в XVIII столітті, в книзі англійського педагога Плейфера, постулат про паралельні з’вився в своєму сучасному, більш сміливому і лаконічному, формулюванні: через точку поза прямою можна провести тільки одну пряму, яка не пересікає дану і лежить з нею в одній площині.
В двадцятих роках XIX століття народжується геометрія Лобачевського. В ній зберігаються всі аксіоми і постулати геометрії Евкліда, крім одного – п’ятий постулат замінюється наступним твердженням: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить не менш, ніж дві прямі, які не перетинають дану і лежать з нею в одній площині.
Майже всі сучасники Лобачевського були впевнені, що його геометрія – помилкова. Вони не тільки заперечували її застосування до зовнішнього світу, але й вважали її порочною із середини – внутрішньо суперечливою, тобто вважали, що при подальшому розвитку теорії із постулату про паралельні, прийнятого Лобачевським, неминуче будуть отримані суперечливі одне одному твердження.
Ми не будемо торкатись тут складного питання про зв’язок геометрії Лобачевського із зовнішнім світом – він розкривається повністю лише в теорії відносності, створеній на початку минулого століття. Наша мета інша – розповісти про те, як математикам вдалось зняти з геометрії Лобачевського звинувачення про суперечливість. Саме для цієї мети в кінці XIX століття французький математик Анрі Пуанкаре побудував модель геометрії Лобачевського (1882 р.). Але, щоб розповісти, що собою являє модель Пуанкаре і чому вона встановлює несуперечливість геометрії Лобачевського, нам потрібно спочатку зайнятись властивостями звичайного кола.
Побудова ортогональних кіл і прямих
Назвемо дві лінії – кола чи прямі – ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Нагадаємо, що під кутом між двома колами розуміється кут між дотичними, проведеними до них в точці перетину, під кутом між прямою і колом – кут між прямою і дотичною, проведеною до кола в точці перетину.
Зауважимо, що пряма, ортогональна колу, обов’язково проходить через її центр, а дотична до одного із двох ортогональних кіл в точці їх перетину проходить через центр іншого (рис. 1). Це спостереження дозволяє легко вирішити наступні дві задачі на побудову, які нам будуть необхідні в подальшому.
Розв’язання. Центр шуканого кола знаходиться на перетині перпендикуляра, опущеного з центра О кола γ на пряму АВ, і перпендикуляра до прямої ОА, настроєного з точки А (див. рис. 1). Розв’ язок єдиний, якщо перпендикуляри перетинаються. Якщо перпендикуляри не перетинаються, то точки А і В діаметрально протилежні і задача розв’язку не має; однак в цьому випадку сама пряма АВ ортогональна колу γ.
2. Дане коло γ і точка О1 поза ним. Провести коло з центром О1 , ортогональне колу γ.
Розв’язання. Якщо А – одна з точок перетину кола, побудованого на відрізку ОО1 як на діаметрі, з колом γ, то (О1, ׀О1 А׀) – шукане коло.
Наступна задача на побудову, потрібна нам (через довільні дві точки площини провести коло, ортогональне даному колу), вже не розв’язується так просто. Для її розв’язання – і для інших цілей – нам буде необхідним важливе поняття інверсії.
Інверсія та її властивості
Інверсією (О, r) (або симетрією відносно кола з центром О і радіусом r) називається перетворення площини, при якому кожній точці М ставиться у відповідність точка М′ на промені ОМ, що ׀ ОМ ׀ ∙ ׀О М′׀ = r2.
Точку О називають центром інверсії (це єдина точка, перетворення не визначено), число r – радіусом інверсії, а коло (О, r) – колом інверсії.
Інверсія – дійсно свого роду симетрія відносно кола; вона «вивертає» внутрішність кола в його зовнішність (і навпаки), своєрідно спотворює форму і розміри фігур. Основні властивості інверсії (О, r) показані на рисунку 2, де можна прослідкувати, що
3′) прямі, які не
проходять через центр
4′) кола, які не
проходять через центр
Ці властивості неважко доводяться; читач може знайти їх доведення в статті «Інверсія» в одному із номерів журналу «Квант», однак для розуміння подальшого їхній розбір не є обов’язковим. Наведемо (уже з доведенням) ще одну важливу властивість інверсії.
Доведення. За властивістю 4′), дане коло γ переходить в коло γ′. За властивістю 2), точки перетину А і В кола γ з колом інверсії залишаються на місці, значить, γ′ проходить через А і В. За властивістю 5), коло γ′ ортогональне колу інверсії. Але через А, В проходить єдине коло, ортогональне колу інверсії, значить, γ′ і γ співпадають.
Слід звернути увагу, що коло γ переходить в себе, та тільки дві її точки (А і В) залишаються на місці; точки кола γ, які лежать в середині кола інверсії, перескакують (в точки кола γ) поза нього і навпаки.Виявляється, що цією властивістю володіють тільки кола, ортогональні колу інверсії:
8) Якщо коло, відмінне від самого кола інверсії, переходить в себе, то воно ортогональне колу інверсії.
Доведення. В силу властивості 1), дане коло γ перетинає коло інверсії в деяких точках А і В, які залишаються на місці (властивість 2)). Проведемо через центр інверсії О і точку А пряму ОА. Якщо А – не єдина спільна точка (ОА) і γ, а вони перетинаються ще в деякій точці D, то вони перетнуться ще в образі D′ точки D, так як (ОА) переходить в себе (властивість 3)). Трьох точок перетину у прямої і кола бути не може, значить, А – єдина спільна точка γ і (ОА), тобто (ОА) – дотична до γ. Це означає, що коло γ ортогональне колу інверсії.
Можна дати і інше доведення. Нехай φ1 і φ2 - дуги, на які точки А і В розбивають коло γ. При нашій інверсії дуги φ1 і φ2 переходять одна в одну. В силу збереження кутів при інверсії, кути, утворені колом інверсії і дугами, рівні, а в сумі вони складають 180˚= 2 ∙ 90˚.
Побудова інверсій
Забігаючи наперед, можна сказати,що інверсії в моделі Пуанкаре будуть виконувати роль переміщень. Тому нам потрібно навчитись знаходити інверсії, що володіють тими чи іншими наперед заданими властивостями. Ми їх сформулюємо в виді чергових задач на побудову.
3. Для даної точки Х в середині кола γ з центром Q побудувати коло, ортогональне γ, відносно якого точки X i Q симетричні.
Рис. 4.
Вказівка. Настроїмо перпендикуляр з точки А до прямої QA до перетину з (QX) в точці О (рис. 3). Шукане коло – ( О, ׀ОА׀). Для доведення слід використати подібність прямокутних трикутників.
4. Для двох даних кіл τ1 і τ2 , ортогональних колу γ, побудувати коло чи пряму, ортогональну γ, відносно якого кола τ1 і τ2 симетричні.
Розв’язання. Нехай А1, В1 і А2, В2 – точки перетину кіл γ і τ1 , γ і τ2 відповідно. Якщо прямі А1А2 і В1В2 паралельні, то τ1 і τ2 симетричні відносно діаметра кола γ, перпендикулярного цим прямим. Якщо ж прямі А1А2 і В1В2 перетинаються в точці О, то згідно задачі 2 можна провести коло з центром О, ортогональну колу γ (рис. 4). Це коло – шукане. Дійсно, симетрія відносно нього переводить коло γ і прямі А1А2 і В1В2 в себе, тобто міняє місцями точки А1 і А2, В1 і В2. Кути при інверсії зберігаються (властивість 5)), а через дані дві точки проходить рівно одне коло, ортогональне даному (задача1), тому τ1 переходить в τ2.
Зауваження. Твердження задачі залишається в силі, якщо замість обох кіл τ1 і τ2 або замість одного з них розглядати прямі, ортогональні колу γ, тобто його діаметри.
5. Побудувати інверсію,
яка переводить дане коло γ
в себе і яка залишає на
місці дві її внутрішні точки А
Розв’язання. Якщо точки А, В лежать на одному діаметрі, задача не має розв’язку (однак симетрія відносно цього діаметра залишає на місці А і В і переводить γ в себе!). Якщо А і В не лежать на одному діаметрі, ми розглянемо інверсію відносно кола τ, яка переводить А в центр О кола γ (така інверсія є – див. задачу 3). При цьому точка В перейде в деяку точку В′. Через точки О і В′ проведемо діаметр δ кола γ. Повторюючи інверсію відносно τ, повернемо всі точки на свої місця (властивість 6)). Діаметр δ перейде в дугу кола δ′, ортогонального γ. Симетрія відносно кола δ′ - шукана.
Попутно ми розв’язали згадану вище задачу про проведення кола чи прямої, ортогональних даним, через дві точки. Сформулюємо її наступним чином.
Наслідок. Через дві точки А і В, що лежать в крузі λ чи на його межі, можна провести рівно одне коло чи пряму, ортогональні граничному колу γ круга λ.
Це твердження дійсно випливає із розв’язань задач 5 і 1.
Модель Пуанкаре
Модель Пуанкаре – це одна із можливих евклідових моделей геометрії Лобачевського. Що являє собою така модель? Це конкретна невелика частина геометрії Евкліда, в якій виділені спеціальні поняття, що відіграють роль основних понять геометрії Лобачевського – таких, як точка, пряма, переміщення і т.д. Виділені поняття вибираються з таким розрахунком, щоб для них виконувались всі основні положення (аксіоми) геометрії Лобачевського.
- Як таке можливо? – запитає читач. – Хіба можуть аксіоми Лобачевського виконуватись в геометрії Евкліда?
Виявляється, можуть. Справа в тому, що в ролі основних понять геометрії Лобачевського виступають не звичайні точки, прямі, переміщення евклідової геометрії, а більш спеціальні поняття. Для задання моделі, таким чином, використовується свого роду «словник» - перелік основних понять геометрії Лобачевського їх «переклад»: відповідні спеціальні поняття із вибраної частини евклідової геометрії.
Ось як виглядає цей словник для моделі Пуанкаре.
Площиною Лобачевського називається внутрішність круга λ звичайної (евклідової!) площини, обмежена колом γ з центром Q. Точка площини Лобачевського - це будь-яка внутрішня точка круга λ. Пряма лінія – будь-який діаметр (без кінців) круга λ чи дуга кола, що лежить в середині λ, ортогонального колу λ. (Таким чином, хорди кола γ, які не співпадають з діаметром, не є «прямими»).
Далі, переміщенням площини Лобачевського називається будь-яке із наступних перетворень круга λ: