Модель Пуанкаре

1. поворот круга λ відносно його центра Q на будь-який кут;
2. симетрія круга λ відносно діаметра чи будь-якого кола, ортогонального його граничному колу γ;

а також будь-яка композиція цих перетворень.

Виявляється (ми це детальніше розглянемо нижче), що при такому тлумаченні слів «точка», «пряма», «площина», «переміщення площини» виконуються всі аксіоми  геометрії Лобачевського. А це якраз  і означає, що геометрія Лобачевського  – несуперечлива. Чому? Ось як це пояснює сам автор моделі, Анрі Пуанкаре:

«Візьмемо теореми Лобачевського  і перекладемо їх з допомогою  нашого словника, як ми перекладаємо німецький  текст на французьку мову з допомогою  німецько-французького словника. Ми отримаємо, таким чином, теореми звичайної геометрії. (…) Отже, як би далеко ми не розвинули наслідки із припущень Лобачевського, ми ніколи не наштовхнемось на суперечність. Насправді, якщо б дві теореми Лобачевського знаходились в суперечності, то теж саме мало б місце і для перекладів цих двох теорем, зроблених з допомогою нашого словника; але ці переклади - суть теореми звичайної геометрії (…), яка вільна від суперечностей».

Це розмірковування  показує, що із несуперечливості евклідової геометрії випливає несуперечливість геометрії Лобачевського. Саме в цьому сенсі Пуанкаре говорив, що ні одна геометрія не може бути більш істинна, ніж інша.

Таким чином, щоб встановити несуперечливість геометрії Лобачевського, залишилось перевірити, що всі її аксіоми  виконані для побудованої вище моделі.

 

Перевірка аксіом

Ми не будемо перевіряти всі аксіоми геометрї Лобачевського  для моделі Пуанкаре – нудна і  втомлююча справа, а обмежимось доведенням лише декількох характерних основних положень геометрії Лобачевського. А саме наступних.

1. Будь-яке переміщення переводить «площину» λ в себе, причому «прямі» переходять в «прямі».
2. Через будь-які дві «точки» площини λ проходить одна і тільки одна «пряма».
3. «Переміщення площини» λ зберігають кути між «прямими».
4. Будь-які дві «прямі» конгруентні, тобто існує «переміщення площини», яке переводить одну в іншу.

 

                     

                                                         Рис. 5.

 

5. Через кожну точку, що не належить даній «прямій», проходить не менше як дві «прямі», що не що не мають з нею спільних точок. (Це «аксіома паралельних» Лобачевського; рис. 5).

Доведемо твердження 1-5.

1. Поворот круга λ  навколо його центра і симетрія  відносно його діаметра, очевидно, переводять λ в себе. Що ж  стосується інверсії відносно  будь-якого кола τ, ортогонального γ, то вона переводить γ в себе (властивість 7)), причому дві області, на які τ розбиває λ, міняються місцями, тобто λ переходить себе.

2. Це випливає із  наслідку задачі 5.

3. Це справедливе для  всіх основних переміщень (див., зокрема,  властивість 5)), а значить, і для їхніх композицій.

4. Це випливає із  задачі 4.

5. Нехай дана пряма  τ перетинає γ в точках А і В. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли дана точка не що інше, як центр О круга λ. Тоді діаметри (ОА) і (ОВ) – прямі, які не перетинають τ. Нагадаємо, що точки кола γ,  зокрема точки А і В, не є «точками» «площини Лобачевського». Загальний же випадок зводиться до частинного випадку, який ми вже розглянули, з допомогою задачі 3.

Отже, основні положення (1-5) геометрії Лобачевського доведені в моделі Пуанкаре. Тим, хто хотів би далі вивчати геометрію Лобачевського на цій моделі, в кінці пропонується декілька задач. А поки що відповімо на одне із питань, що виникло ще на початку.

 

А що ж все-таки відбувається «на нескінченності»?

Одна із переваг моделі Пуанкаре заключається в тому, що на ній – з нашої евклідової точки зору – можна побачити таємну множину «нескінченно віддалених» точок геометрії Лобачевського.

Покажемо, що граничне коло γ звичайно розглядати як «нескінченно віддалене коло» площини Лобачевського λ. Для цього повернемось ненадовго у звичайну евклідову площину і подивимось, як з допомогою переміщень евклідової площини зрушити задану фігуру скільки завгодно далеко від її початкового положення. Наприклад, це можна зробити так. Виберемо на евклідовій площині дві паралельні прямі l₁ i l₂, що не співпадають, і відобразимо площину симетрично відносно прямої l₂. Тоді пряма l₁ перейде в пряму l₃. Відобразимо площину симетрично відносно l₃, позначимо l₄ образ прямої l₁ при цьому відображенні. Продовжуючи далі цей процес, отримаємо сімейство паралельних прямих. При віддзеркаленні заданої фігури відносно цих прямих послідовність образів йде в нескінченність (рис. 6).

 

         

                                               Рис. 6.

 

Аналогічну побудову можна виконати на площині Лобачевського λ. Виберемо дві довільні паралельні «прямі» m₁ і m₂ і на кожному кроці замість осьової симетрії будемо виконувати симетрію відносно кола. В результаті виникає сімейство ортогональних γ кіл. При послідовному віддзеркаленні в них довільна фігура буде переміщатись все ближче і ближче до кола γ (рис. 6). Точки кола γ, таким чином, грають роль нескінченно віддалених точок.

Задачі

1. Доведіть, що сума кутів «трикутника» в моделі Пуанкаре геометрії Лобачевського менше 180˚, а сума кутів «чотирикутника» - менше 360˚.
2. Доведіть, що через дану точку А площини λ, що не належить «прямій» φ, можна провести одну «пряму» ψ, ортогональну φ. (Точка перетину «прямих» φ і ψ називається ортогональною проекцією точки А на пряму φ).
3. Нехай «прямі» φ₁ і φ₂ перетинаються. Доведіть, що ортогональною проекцією всіх точок «прямої» φ₁ на (φ₂) (див. задачу 2) є «відрізок прямої» φ₂, а не вся (φ₂), як в евклідовій площині.
4. Доведіть, що якщо «прямі»  φ₁ і φ₂ площини λ паралельні, тобто не перетинаються, то може існувати лише одна «пряма», ортогональна одночасно φ₁ і φ₂.
5. Доведіть, що якщо три кути одного «трикутника» в площині λ відповідно рівні трьом кутам другого «трикутника», то трикутники конгруентні в λ.