Моделирование случайных воздействий

 

 

Содержание

Введение…………………………………………………………...………………3

Раздел 1. Метод статистического  моделирования………...……………………4

Раздел 2. Моделирование случайных  воздействий……..………………………7

2.1. Моделирование случайных  событий………………………..………………7

2.2. Моделирование дискретных  случайных величин…………….…………..10

2.3. Моделирование случайных  непрерывных величин…………………...….12

2.4. Моделирование случайных  величин……………………………..………..15

Выводы…………………………………………………………………..……….18

Список использованной литературы……………………………………….…..19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Невозможно представить  себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит  в замене исходного объекта его  «образом» - математической моделью  – в дальнейшем изучении модели с помощью  реализуемых на компьютерах  логических алгоритмов. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущество теории).

Математическое моделирование  опирается на известные качественные методы и соответственно аналитический  аппарат. Одним из методов математического  моделирования является статистический метод, суть которого сводится к синтезу  для исследуемого процесса некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов  системы с учетом случайных воздействий.

Для формализации случайных  факторов и воздействий на систему  используют случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 1. Метод статистического  моделирования.

Под моделированием понимается процесс исследования реальной системы, включающий построение модели, изучение ее свойств и перенос полученных сведений на моделируемую систему.

Рассмотрим один из методов  моделирования – метод   статистического  моделирования, который позволяет  решать сложнейшие задания и обладает существенными преимуществами перед аналитическими методами и другими методами моделирования. Основным преимуществом этого метода является возможность решения задач повышенной сложности: исследуемая система может содержать одновременно элементы непрерывных и дискретных действий, быть подверженной влиянию многочисленных случайных воздействий, описываться весьма громоздкими соотношениями и т. п.

Статистические методы опираются  на теорию вероятности, математическую статистику и теорию случайных процессов. К ним относятся:

1) методы многофакторного  анализа (регрессионные модели, метод  группового учета аргумента, многомерная фильтрация, имитационные модели и другие);

2) методы однофакторного прогнозирования (экспотенциальное сглаживание, метод разностных уравнений, метод марковских цепей, метод скользящего среднего и другие).

Теория случайных процессов  имеет дело с исследованием структуры  семейств случайных величин , где – параметр, принадлежащий множеству . Случайные процессы, у которых особенно важны для прогнозирования. При этом интерпретируют как время. Выборочной функцией случайного процесса  является функция, которая ставит в соответствие каждому одно из возможных значений . Множество значений  может быть дискретным, а при этом может представлять исходы последовательных испытаний при различных воздействиях. Например, в случае, когда  представляет собой исход -го бросания монеты, возможные результаты образуют множество , а одним из возможных исходов процесса является последовательность

Важным примером случайного процесса, непрерывного по времени  ( ) является пуассоновский процесс. Его выборочная функция представляет собой число регистраций наступления некоторого события за период времени от 0 до . Очевидно, каждая возможная реализация есть неубывающая ступенчатая функция. Пример – число телефонных вызовов из данного района, число ошибок на странице машинописного текста и т. д. Свойства пуассоновских процессов:

1)независимость числа  наступления событий в некотором  интервале от числа наступлений  этого события в любом другом  интервале, не пересекающимся  с ним;

2) вероятность того, что  за период времени  произойдет хотя бы одно событие, есть ,  , при этом  при  означает, что ;

3) вероятность того, что за время   произойдет два или более событий, есть , что означает невозможность одновременного появления двух либо более событий.

При выполнении условий 1) – 3) вероятность  того, что за время    произошло ровно событий равна:

,

где - параметр процесса, причем.

Таким образом, среднее число  наступления события за время        равно .

Модель пуассоновских  процессов находит применение при  решении задач  о баллотировке (выборах). Многомерные  пуассоновские  процессы используются в астрономии.

Большое количество физических, экономических, биологических, технических  процессов описывается с помощью  модели марковских цепей. Дискретная марковская цепь представляет собой марковский случайный процесс, пространство состояний  которого конечно.

Марковский процесс –  это процесс, обладающий следующим  свойством: если известны значения случайной  величины , то значение ,  , не зависит от , . Иначе: вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса, при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относительно прошлого этого процесса.

Процесс является марковским, если

 

при .

Классическим примером цепей  Маркова являются ветвящиеся процессы (развитие биологических систем), броуновское  движение (физические и социальные процессы), процессы рождения и гибели (прогнозирование численности популяции  организмов), модели иммиграции, системы массового обслуживания.

Использование моделей случайных  процессов предполагает знание законов  распределения случайных величин. Но поскольку в реальных системах знание этих законов не полно, применяются  методы прогнозирования, основанные на неравенстве Чебышева:

 или , ,

где  - математическое ожидание,

  – дисперсия случайной величины.

 

2.1. Моделирование случайных  событий.

Событие – одно из основных понятий в теории вероятности. Под  «событием» в теории вероятности  понимается всякий факт, который в  результате опыта может произойти  либо не произойти.

При моделировании систем методом статистической модели существенное внимание уделяется учету случайных  факторов и воздействий на систему. Для их формализации используют случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы. Простейшими случайными объектами являются случайные события. Рассмотрим особенности их моделирования.

Пусть есть некоторые случайные  числа , т.е. возможные значения случайной величины равномерно распределены в интервале . Задача: реализовать случайное событие , вероятность наступления которого . Пусть событие состоит в том, что выбранное значение  случайной величины   удовлетворяет неравенству:

         

Тогда вероятность события  будет равна

  .

Соответственно, противоположное  событие  состоит в том, что . Тогда .

Моделирование случайных  событий состоит в выборе значений и сравнении их с  . При этом, если условие выполняется, исходом испытания является событие .

Рассмотрим таким же способом группу событий. Пусть  - полная группа событий, наступающих с вероятностями  соответственно. Пусть событие состоит в том, что выбранное значение случайной величины удовлетворяет неравенству

 ,                            

 где .

Тогда .

Моделирование испытания  в данном случае состоит в последовательном сравнении случайных значений со значениями . Исходом испытания оказывается событие  , если выполняется условие   . Эта процедура называется определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями

Пример 2.1  Пусть имеются  -разрядные случайные числа с возможными значениями ,  . Подставляем в вместо число , определим как событие, состоящее в том, что .

Вероятность наступления  события равна , где - количество случайных чисел, меньших либо равных Отсюда следует, что использование числа вместо приводит к ошибке в определении вероятности события .

Для уменьшения влияния ошибок можно воспользоваться увеличением  разрядности случайных чисел (поскольку максимальное значение ошибки не превосходит ).

Рассмотрим случай, когда  результат испытания является сложным  событием, зависящим от двух (и более) простых событий. Пусть, например, независимые  события и имеют вероятности наступления и .

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет

Возможными исходами испытаний  в этом случае будут события  с вероятностями , , .

Для моделирования совместных испытаний можно использовать два  варианта процедуры:

1) последовательно проверить  выполнение условия ; 

2) определить один из  исходов по жребию с соответствующими вероятностями, т.е. аналогично .

Для первого варианта необходимы два числа и сравнение их для проверки условия . Для второго варианта достаточно одного числа , но сравнений потребуется больше. С точки зрения экономии количества операций и памяти ЭВМ более предпочтительным является первый вариант.

Рассмотрим так же случай, при котором события и являются зависимыми и наступают с вероятностями и . Пусть - условная вероятность наступления события , при условии, что событие произошло. Считаем, что условная вероятность задана. Рассмотрим один из вариантов построения модели. Из последнего случая чисел извлекаем очередное число и проверяем справедливость неравенства . Если неравенство выполняется, то наступило событие . Для испытаний, связанных с событием , используем вероятность . Из совокупности чисел берем очередное число и проверяем выполнение условия . В зависимости от выполнения этого неравенства, исходом испытания является или .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Моделирование дискретных  случайных величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее – какое именно.

Случайные величины, принимающие  только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными  случайными величинами.

Для случая дискретной случайной  величины , принимающей значения с вероятностями составляющими дифференциальное распределение вероятностей

                      … … ,

     … … ,                    

При этом интегральная функция  распределения

    

                  F_h(y) = 0; y<y₁.                                                                              

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции.

Так, если x, — равномерно распределенная на интервале (0, 1) случайная величина, то искомая случайная величина h получается с помощью преобразования

                    

,                                                                           

где — функция, обратная F_h.

Таким образом, алгоритм вычислений по сводится к выполнению следующих действий:

если то , иначе

 

 если , то , иначе                                 

………………………………………..

 , то

………………………………………..

Среднее число циклов сравнения .

Пример 2.2. Проверить стохастичность последовательности из случайных чисел , полученных при имитации биномиального распределения при заданных параметрах и  .

Простейшим способом проверки  является оценка выполнения следующих условий:

1)  ,

2)

Проверяем на соответствие биномиальному распределению с  параметрами  и такой последовательности случайных чисел:   .

Вычисляем ; .

 

 

Отсюда следует вывод, что данная последовательность чисел  хорошо в условиях данного примера представляет биномиальное распределение с заданными параметрами

 

2.3. Моделирование непрерывных  случайных величин.

Случайные величины различают  прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения непрерывных  величин не могут быть заранее  перечислены и непрерывно заполняют  некоторый промежуток.