Моделирование случайных воздействий

Примеры непрерывных случайных  величин:

1) абсцисса (ордината) точки  попадания при выстреле;

2) время безотказной работы  радиолампы и т. п.

Составить таблицу, в которой  были бы перечислены все возможные  значения  случайной величины, невозможно.

Непрерывная случайная величина, очевидно, зависит от некоторой текущей  переменной и задана интегральной функцией распределения:

 

где — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных  случайных величин с заданным законом распределения, как и  для дискретных величин, можно воспользоваться  методом обратной функции.

Взаимно однозначная монотонная функция  , полученная решением относительно h уравнения , преобразует равномерно распределенную на интервале (0, 1) величину x в h с требуемой плотностью (у). Чтобы получить число, которое принадлежит последовательности случайных чисел c плотностью, решим относительно уравнение

                                      

Рассмотрим пример получения  методом обратной функции непрерывных  случайных величин с заданным законом распределения на основе случайных чисел, имеющих равномерное  распределение в     интервале . Пусть необходимо получить случайные числа с показательным законом распределения

, .

Используем формулу  , получим

,

где – cлучайное число, имеющее равномерное распределение в интервале . Отсюда:

 

.

Учитывая, что  случайная  величина имеет также равномерное распределение в интервале можно записать .

Существуют приближенные способы преобразования случайных  чисел, которые можно классифицировать следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом  распределения любого вида;

б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных  чисел с конкретным законом распределения.

универсальный способ получения случайных чисел основан на кусочной аппроксимации функции плотности. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел функцией плотности f_n(у), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим f_h(у) в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на т интервалов, как это показано на рисунке:

будем считать f_n(y) на каждом интервале постоянной. Тогда случайную величину h можно представить

где а_k — абсцисса левой границы k-то интервала; h_k* — случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k - то интервала, т. е. на каждом участке a_k ¸ a_k+1 величина h_k* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать f_n(y) наиболее удобным для практических целей способом, целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины h в любой интервал  (а_k, а_k+1) была постоянной, т. е. не зависела от номера интервала k. Таким образом, для вычисления а_k воспользуемся следующим соотношением:

                        

Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к последовательному выполнению следующих действий:

1) генерируется  случайное равномерно распределенное число х_i из интервала (0, 1);

2) с помощью этого числа  случайным образом выбирается  интервал (а_k, а_k+1);

3) генерируется число х_i+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (а_k, а_k+1) т. е. домножается на коэффициент (а_k+1 — a_k)x_i+1;

4) вычисляется случайное число y_j=a_k+(а_k+1 — a_k)x_i+1 с требуемым законом распределения.

Достоинства этого приближенного  способа преобразования случайных  чисел: при реализации на ЭВМ требуется  небольшое количество операций для  получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования (2.9) выполняется только один раз перед моделированием, и количество операций не зависит от точности аппроксимации, т. е. от количества интервалов т.

 

2.4. Моделирование случайных  векторов.

В практическом применении теории вероятностей очень часто  приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта  описывается не одной случайной  величиной, а двумя (или более) случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определена не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой – и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. В подобных случаях удобно систему таких величин рассмотреть как случайный вектор на плоскости

Моделирование случайных  векторов широко используют при решении задач на исследование характеристик процессов функционирования систем. Случайный вектор может быть задан проекциями на оси координат, причем эти проекции являются случайными величинами, которые описываются совместным законом распределения.

Рассмотрим простейший случай, когда случайный вектор расположен на плоскости  и задан совместным законом распределения его проекций и  на оси и .

Рассмотрим дискретный случайный  процесс, когда двухмерная случайная величина является дискретной и ее составляющая   принимает различные значения , а составляющая – значения . При этом каждой паре соответствует вероятность . Отсюда  каждому возможному значению случайной величины будет  соответствовать вероятность .

В соответствии с этим распределением вероятностей можно определить конкретное значение случайной величины и из всех значений выбрать последовательность

  ,             (2.10)

которая описывает условное распределение величины h при условии, что x=х_i. Аналогично определяем конкретное значение случайной величины h в соответствии с распределением вероятностей (2.10). Полученная пара будет первой реализацией моделируемого случайного вектора.  Таким же способом определяем возможные значения выбираем последовательность

                                   (2.11)

и находим  в соответствии с распределением (2.11). Это дает реализацию вектора и т. д.

При моделировании непрерывного случайного вектора с составляющими x, и h. В этом случае двухмерная случайная величина (x, h) описывается совместной функцией плотности f(х, у). Эта функция может быть использована для определения функции плотности случайной   величины x как

Рассмотрим пример. Пусть требуется сформировать реализации трехмерного случайного вектора , имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями = и корреляционной матрицей , элементы которой , и являются дисперсиями случайных величин соответственно, а элементы , , представляют собой корреляционные моменты соответственно.

Обозначим последовательность некорреляционных случайных чисел . Она имеет одномерное нормальное распределение с параметрами Выберем и преобразуем три числа так, чтобы они имели характеристики и /

Данные составляющие вектора  обозначим и представим в виде линейного преобразования:

,

где – некоторые (пока неизвестные коэффициенты). Вычислим эти коэффициенты. Для этого воспользуемся элементами корреляционной матрицы . Поскольку случайные величины   независимы между собой, то

  при .

Отсюда:

,

,

,

,

 

.

Решаем эту систему  уравнений относительно , получим:

               ;;  ; ; 

 

 

 

Далее, вычислив коэффициенты , легко преобразовать три последовательных случайных числа , в составляющие случайного вектора , используя соотношения, приведенные выше.

способ формирования реализаций двухмерных векторов можно обобщить и на случай многомерных случайных векторов. Однако при больших размерностях этих векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.

Выводы.

Элементы математического  моделирования используются  с  самого начала появления точных наук и не случайно, что некоторые методы вычисления носят имена таких  корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского  ученого Аль Хорезми.

В работе рассмотрены методы моделирования случайных воздействий, такие, как моделирование случайных  событий, моделирование дискретных и непрерывных случайных величин, моделирование случайных векторов. Показано на примерах моделирование указанными методами. Рассмотрены классические методы статистического моделирования: модель пуассоновских процессов, модель марковских цепей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы.

1. Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика,2002. – 368 с.

2. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001

3. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. – М.: Главная редакция физико – математической литературы изд-ва «Наука»,1968. – 356 с.

4. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде Windows. – М.,2001.–288 с.

5. Самарский А.А, Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2 –е изд., испр. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.

6. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 2009. – 343 с.

7.Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. – М.,2001. – 544 с.

8. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ, 2000