Нечеткая логика

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра «Автоматизации и  вычислительной техники»

 

 

 

Курсовая работа

 

по дисциплине «Дискретная математика»

 

на тему «Нечеткая логика»

 

 

 

  

 

 

 

 

 

                                                                  Выполнил:     

                                                                            Студента группы: АСОИУбзс 11-2

                                        

                                                                            Проверил:                                                                                                                                                                

                          

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….….3

1. Основы нечеткой логики……………………………………………………..5
2. Нечеткие множества……………………………………………………….....7
3. Основные характеристики нечетких множеств……………………………11
4. Примеры записей нечеткого множества…………………………………...12
5. Примеры нечетких множеств……………………………………………….13
6. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств…….15
7. Операции над нечеткими множествами……………………………………17
8. Наглядное представление операций над нечеткими множествами……...20
9. Свойства операций  ………………………………………………….22
10. Нечеткая и лингвистические переменные……...…………………………24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………….27

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………………30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Цель работы:  Дать четкое понимание нечеткой логики. На примерах показать основные свойства и характеристики нечетких множеств.

 

Для достижения данной цели поставлены были следующие задачи:

 

1. Изучить литературу по данной теме;
2. Рассмотреть исторические аспекты нечеткой логики;
3. Охарактеризовать математический аппарат нечеткого множества;
4. Изучить базовые операции над нечеткими множествами

 

Нечеткая логика – это  надмножество классической булевой  логики, расширяющее ее возможности  и позволяющее применить концепцию  неопределённости в логических выводах. Основной причиной появления новой  теории стало наличие нечетких и  приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.  Теория была введена Лотфи Заде в 1965 г. как способ моделирования неопределенностей естественного языка.  

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента  зарождения нечеткой логики. И на этом пути развития нечетких систем принято  выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием  теоретического аппарата нечеткой логики (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман).

Во втором периоде (70–80-е  годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого  управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике.

Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов  и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области  применения нечеткой логики заметно  расширяются. Она применяется в  автомобильной, аэрокосмической и  транспортной промышленности, в области  изделий бытовой техники, в сфере  финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие  нечеткой логики по миру началось после  доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

 

 

 

 

 

1. ОСНОВЫ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ

 

 

 

 Нечеткая  логика предназначена для формализации  человеческих способностей к  неточным или приближенным рассуждениям, которые позволяют более адекватно  описывать ситуации с неопределенностью.  Классическая логика по своей  сути игнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и  рассуждения в формальных логических  системах могут иметь только  значение "истина" (И, 1) или значение "ложь" (Л, 0). В отличие от этого в нечеткой логике истинность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать и другие отличные {И, Л} значения. Концептуальное отличие нечеткой логики от классической заключается в том, что она интерпретирует не только значениями «истина» и «ложь», но и промежуточными значениями.

 Чтобы  иметь возможность выражать неопределенные  знания, необходима такая логическая  система, которая позволяет некоторому  предложению иметь истинностное  значение, отличающееся от бинарного И или Л. Один из подходов — расширить множество истинностных значений {И, Л} и позволить предложениям принимать некоторые дополнительные значения истинности.

В классической логике предположение

Является истинным в том  и только в том случае, если истинны  оба члена этого выражения. В  нечеткой логике существует соглашение: если F и G являются нечеткими предикатами, то и аналогично .

Таким образом, можно получить, что если

,

то  .

Теперь рассмотрим следующую  ситуацию. Пусть имеем отрицание:

 По приведенной выше формуле дополнения:

.

А теперь рассмотрим следующее  выражение:

Вероятность истинности этого  утверждения равна 0, поскольку:

Однако в нечеткой логике значение этого выражения будет  равно 0,1. Суть этого состоит в  том, что значение выражения можно  считать показателем принадлежности кошки к нечеткому множеству  других имен.

Смысл выражения  заключается в том, что мы только на 90% уверены в принадлежности этой кошки к кошкам по имени Мурка. Вполне резонно предположить, что существует некоторая уверенность в том, что кошку зовут иначе.

Из вышесказанного, очевидно, что нечеткая логика имеет дело с  ситуациями, когда знания, которыми мы располагаем, выражены нечеткими  понятиями. Однако нечеткость понятий  является не единственным источником неопределенности. Иногда просто нет  уверенности в самих фактах.

 Одним  из первых логиков, предложивших в 1930 г. вариант многозначной логической системы, отличающийся от классической бинарной логики, был польский математик Ян Лукасевич (1878—1956). В трехзначной логике Лукасевича используется 3 истинностных значения: {0, 0.5, 1}, где значение 0 интерпретируется как "ложь", 1 — как "истина", а число 0.5— как "возможно". В качестве высказываний с истинностным значением "возможно" могут выступать такие, которые относятся к некоторому моменту времени в будущем. Так, например, высказывание "Сборная России по футболу выйдет в 1/8 финала на предстоящем Чемпионате мира" до начала Чемпионата не может быть оценено ни как истинное, ни как ложное. Именно по этой причине более адекватным ответом на вопрос об его истинности будет использование трехзначной логики с соответствующей интерпретацией истинности в форме значения "возможно". Наряду с понятием нечеткого множества, Л. Заде предложил обобщение классической логики на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности.

Нечеткая  логика используется при создании систем, понимающих тексты на естественном языке, при создании планирующих систем, опирающихся на неполную информацию, при обработке зрительных сигналов, при управлении техническими, социальными  и экономическими системами, в системах искусственного интеллекта и робототехнических  системах:

 

1. Автоматическое управление воротами плотины на гидроэлектростанциях;
2. Упрощенное управление роботами;
3. Наведение телекамер  при трансляции спортивных событий;
4. Замена экспертов при анализе работы биржи;
5. Эффективное и стабильное управление автомобильными двигателями;
6. Управление экономичной скоростью автомобилей;
7. Улучшение эффективности и оптимизация промышленных систем управления и т.д.;

 

На рынке  представлено множество программных  продуктов, использующих нечеткую логику: Бизнес-Прогноз, CubiCalc, RuleMaker, FIDE, FuzzyNET, FuzzyCLIPS, FuNeGen, NEFCON-I, Fuzzy Logic Toolbox системы MatLab, FuzzyXL, FuzzyCalc и др.

 

 

НЕЧЕЧКАЯ ЛОГИКА КАК ОТРАСЛЬ  ЗНАНИЯ

 

Термин «нечеткая логика»  стал использоваться в конце 60-х  годов ХХ века. Сначала он означал  любую логику, имеющую более двух истинностных значений.

В настоящее время термин «нечеткая логика» используется в двух различных смыслах

В узком смысле, нечеткая логика – это логическая система, являющаяся расширением многозначной логики. Однако, даже для нечеткой логики в узком смысле, список основных операций очень отличается как по духу, так и по  содержанию от списка основных операций для систем многозначных логик. Нечеткая логика в узком смысле представляет собой специальную  многозначную логику, нацеленную на обеспечение  формальных основ градуированного  подхода к нечеткости. Под градуированным подходом понимается общий принцип  человеческого мышления, который  используется при попытке выяснить, обладает объект свойством в полной мере или только частично, поскольку  данное свойство нечетко. Например, «практически белое пятно», «очень сильный мотор» и т.п. Во всех этих случаях есть скрытые  степени интенсивности развиваемых  свойством.

Нечеткая логика в широком  смысле является расширением нечеткой логики в узком смысле и нацелена на создание математической модели естественных человеческих рассуждений, в которых  принципиальную роль играет естественный язык. В этом смысле нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств, то есть классов с неточными, размытыми границами.

В общем, нечеткая логика является результатом градуированного подхода  к формальным логическим схемам. Важно  подчеркнуть, что это не является результатом ненужных бесконечных обобщений. Благодаря градуированному подходу, нечеткая логика обеспечивает разрешимость некоторых классически неразрешимых проблем. К примеру, хорошо известными являются древние парадоксы sorites (куча) и falakros (лысый человек).

Парадокс кучи:

Одно пшеничное зерно  не образует кучи. То же верно и для  двух зерен, трех и т.д. Следовательно, куча не существует.

Парадокс лысого человека:

Человек без волос или  только с одним волосом – лысый. То же верно и для человека с  двумя волосами и т.д. Следовательно, все люди – лысые.

Указанные парадоксы возникают  тогда, когда свойство «быть кучей» и «быть лысым» понимаются точно, т.е. исключая их нечеткость. Классическая двузначная логика не способна с ними справиться.

В рамках нечеткой логики подобные парадоксы не имеют места. Предлагаемое нечеткой логикой решение заключается  в допущении, что импликация F(x)=F(x+1), где F(x) означат, например, высказывание «х зерен не образуют кучи», истинна только в некоторой степени, близкой к 1, скажем, 1-ɛ, где ɛ>0. При этом допущении парадокс кучи, так же как и парадокс лысого, исчезает.