Непрерывная случайная величина

Практическая работа №5

НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ  ВЕЛИЧИНА

 

Основные  понятия и формулы
Форма задания  закона распределения
Функция распределения  (интегральная функция  распределения) Плотность распределения  вероятностей (дифференциальная функция)
Квантиль порядка  р		Р(Х< xp) = p = F(xp )
Основные законы распределения
равномерный	показательный		нормальный
Пирсона	Стьюдента		Фишера
Основные  умения и навыки: подбирать закон распределения исходя из экспериментальных данных; применять основные законы распределения и их свойства; определять квантили выбранного распределения; моделировать законы распределения в Exel.

 

Непрерывная случайная величина – это случайная величина, значения которой целиком заполняют некоторый интервал. Например, время безотказной работы прибора, длина обработанной детали, процентная ставка дохода по инвестициям. Так как невозможно перебрать все возможные значения непрерывной случайной величины, то ее задают с помощью функции распределения или плотности распределения вероятностей.

 

Форма задания  закона распределения

Функцией  распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. Рассмотрим свойства функции F(x):

1. F(-∞)=lim_(x→-∞)F(x)=0. Событие   (X< -∞) - невозможное событие: F(-∞)=P{X< - ∞}=0.
2. F(∞)=lim_(x→∞)F(x)=1. Событие Х<∞ - достоверное событие: F(∞)=P{X< ∞}=1.
3. P{Α≤X<Β}=F(Β)-F(Α). Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Α;Β] равна приращению функции распределения на этом интервале.
4. F(x₂)≥ F(x₁), если x₂, > x₁, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

Рис. 1. Функция  распределения	Рис. 2. Плотность распределения вероятностей

 

Из формулы P{Α≤ X<Β}=F(Β)-F(Α) следует, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной функции равна ее производной. Это позволяет ввести новую функцию для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания случайной величины в интервал [x;x+Δx]:

P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x). Пусть Х - непрерывная случайная величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также достаточно малой. Поделим ее на Δx и перейдем к пределу при Δx →0:

lim_{Δx →0}(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx).

Если это предел существует, то он равен производной от функции  распределения F(x):

lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х (дифференциальной функцией). Рассмотрим свойства плотности распределения:

1. f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.
2. по определению f(x)=F'(x).
3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α;Β] равна:

P{Α≤X<Β}=. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины Х в интервал [Α;Β] равна площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью х и прямыми х=А и х=В.

4. . Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения.

 

Основные законы распределения

Равномерный закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

 

Примеры случайных величин, имеющих равномерное распределение  – время ожидания автобуса, ошибка при взвешивании, измерении. Случайная величина Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [0, 1] называется случайным числом от 0 до 1. Она служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения. Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задача массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному распределению.

Пример 1. Измерения проводят линейкой с ценой деления 1 мм. Показания измерений округляют до ближайшего целого значения. а) Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,1 мм. б) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале [0; 1].

а) Р(0,1<Х<0,9) = (0,9 - 0,1) / (1 - 0) = 0,8, т.е. 80%.

б) МХ = (0 + 1)/ 2 = 0,5; DX = (1 - 0)² /12 = 0,08 и σ(Х) = 0,29.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ >0, если ее плотность вероятности имеет вид:

 

 

Примеры случайных величин, имеющих показательное распределение – период времени работы прибора между поломками, затраты времени на обслуживание одного станка. Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. При этом - среднее число событий (отказов), приходящихся на единицу времени. Длина промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется показательному закону: P(T<t) = F(t) = 1 - . В свою очередь функция называется функцией надежности.

Мастер функций пакета Exel содержит среди статистических функций функции случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром  : f(x) = ЭКСПРАСП (x; ; 0) и F(x) = ЭКСПРАСП (x; ; 1).

Пример 2. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с параметром = 0,01. Найти вероятность того, что за время длительностью 50 часов: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

а) Р(0 <X<50) = 1 – 0,607 = 0,393, т.е. с вероятностью 39,3% элемент откажет за период времени 50 часов.

б) 1 – 0,393 = 0,607, т.е. с вероятностью 60,7% элемент не откажет.

Нормальный  закон распределения. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a и , если ее плотность вероятности имеет вид:

	abb
Обозначение:

 

Нормальный закон распределения  с параметрами , т.е. N(0;1), называется стандартным или нормированным.

Функция распределения нормально  распределенной случайной величины имеет вид:

 

Вероятность попадания случайной  величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал [ab], равна:   abb   где – функция Лапласа. Функция Лапласа нечетная: Ф(-x) = - Ф(х), ее значения затабулированы и приводятся в Приложении 2.

Вероятность попадания случайной  величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания :

 

Если , то . Отсюда следует правило "трех сигм": если , то практически достоверно, что значения случайной величины Х заключены в интервале .

Нормальное распределение  возникает всегда, когда на величину влияет большое количество случайных факторов (и ни один из них не является доминирующим). Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических методов. Он является предельным законом, к которому приближаются многие другие законы распределения.

Мастер функций пакета Exel содержит среди статистических функций функции случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами и :                  f(x) = НОРМРАСП (x; ;; 0) и F(x) = НОРМРАСП (x; ;; 1).

Пример 3. Случайная величина Х распределена нормально с параметрами =8 и =3. Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал [12,5; 14].

Р(12,5<Х<14) = = Ф(2) – Ф(1,5) = 0,4772 – 0,4332 = 0,0440, т.е. с вероятностью 4,4% случайная величина попадет в заданный интервал.

Распределение хи-квадрат c. Распределением Пирсона или хи-квадрат c с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону.

 

Пусть – совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, т.е. , тогда случайная величина   имеет распределение хи-квадрат  с k степенями свободы.
Обозначение: c

 

Распределение c затабулировано и представлено в таблице Приложения 5. Распределение c зависит от одного параметра k – числа степеней свободы. С возрастанием k распределение c приближается к нормальному закону распределения (при k ≥ 30 распределение c практически не отличается от нормального. В математической статистике распределение хи-квадрат используется для построения интервальных оценок и статистических критериев.

 

Распределение Стьюдента (t-распределение).

Пусть – независимые стандартные нормальные случайные величины, такие, что . Тогда распределение случайной величины t:   называется распределением Стьюдента с k степенями свободы, c.
Обозначение: .

 

Распределение Стьюдента  затабулировано и представлено в таблице Приложения 6. Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Распределение Стьюдента применяется в статистике для построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.

 

Распределение Фишера (Фишера-Снедекора).

Пусть – независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат со степенями свободы m и n соответственно: c, c. Тогда распределение случайной величины   называется распределением Фишера со степенями свободы m и n.
Обозначение:

 

 

Распределение Фишера затабулировано и представлено в таблице Приложения 7 (или расширенной таблице Фишера-Снедекора). Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и др.

 

 

 

Квантили распределений

При статистической обработке данных, нахождении доверительных  границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как квантиль порядка  р, где 0 < p < 1. Квантиль – это функция обратная F(x), аргумент функции – вероятность р.

Квантилью распределения случайной величины Х, отвечающей вероятности р, называется такое значение хр, которое случайная величина Х не превосходит с вероятностью р: Р(Х< xp) = p = F(xp ).
Рис.3. Определение квантиля хр порядка р.

На практике распределения Пирсона, Стьюдента  и Фишера используют, как правило, не в виде зависимостей, а находя квантили, соответствующие заданной вероятности.

Пример 4. Случайная величина распределена по закону Пирсона (хи-квадрат) с числом степеней свободы равным 20. Найти интервал, в который случайная величина попадает с вероятностью 0,95.

Примем, что заштрихованные области равны между собой (см. рис. 4), т.е. P(<) =0,95 и P() = P()  = (1-0,95) /2 = 0,025.

Для правой границы  P()  = 0,025. По Приложению 5 находим =34,2.

Для левой границы  P() = 1 - P(), т.е. левую границу ищем как правую для P() = 1 - P() = 1 – 0,025 = 0,975. По Приложению 5 находим =9,59.

Следовательно, значение случайной величины, распределенной по закону с числом степеней свободы k = 20, с вероятностью 0,95 принадлежит интервалу [9,59; 34,2].